Русская Википедия:Функции Стеклова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функции Стеклова — функции, введённые русским математиком В. А. Стекловым (в публикации 1907 года) для решения задач, связанных с представлением функций в виде рядов по системам собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Шаблон:Рамка Пусть <math>f</math> — функция, интегрируемая на отрезке <math>[a,b]</math>. Тогда функция

<math>f_h(x) = f_{h,1}(x) = \frac{1}{h} \int\limits_{x-h/2}^{x+h/2} f(t)\,dt = \frac{1}{h} \int\limits_{-h/2}^{h/2} f(x+t)\,dt </math>

называется функцией Стеклова первого порядка для <math>f</math> с шагом <math>h>0</math>.

Определенные по индукции функции

<math>f_{h,r}(x) = \frac{1}{h} \int\limits_{x-h/2}^{x+h/2} f_{h,r-1}(t)\,dt, \quad \ r=2,3,\ldots,</math>

называются функциями Стеклова порядка <math>r</math> для <math>f</math> с шагом <math>h>0</math>. Шаблон:Конец рамки

Свойства

• Функция <math>f_h(x)</math> имеет производную

<math>\frac{d}{dx}f_h(x) = \frac{1}{h} \Bigl(f(x+h/2)-f(x-h/2)\Bigr)</math>

почти во всех точках отрезка <math>[a,b]</math>.

• Если <math>f</math> абсолютно непрерывна на всей вещественной оси, то имеют место оценки:

<math> \sup\limits_{x\in (-\infty,+\infty)} |f(x)-f_h(x)| \le \omega_f(h/2),</math>

<math> \sup\limits_{x\in (-\infty,+\infty)} \Bigl|\frac{d}{dx}f_h(x)\Bigr| \le \frac{1}{h} \omega_f(h),</math>

где <math>\omega_f(\cdot)</math> — модуль непрерывности функции <math>f</math>.

• Если <math>f\in L^p(-\infty,+\infty),</math> то аналогичные неравенства имеют место в норме этого пространства.

Литература

• Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации, — М.: Наука, 1965.
• Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование, — СПб: Изд-во СПбГУ, 1995.

Ссылки

Springer. Encyclopaedia of Mathematics.