Русская Википедия:Функции Штумпфа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функции Штумпфа c_k(x) были введены в небесную механику немецким астрономом Шаблон:Iw в его теории универсального решения для кеплеровского движения. Они описываются следующим разложением в ряд Тейлора:

<math>c_k (x) = \frac{1}{k!} - \frac{x}{(k + 2)!} + \frac{x^2}{(k + 4)!} - \cdots =

\sum_{i=0}^\infty {\frac{(-1)^i x^i}{(k + 2i)!}}</math> для <math>k = 0, 1, 2, 3,\ldots</math> Этот ряд абсолютно сходится для любых действительных x.

Близки тригонометрическим функциям. Сравнивая разложение в ряд Тейлора для c₀(x) и c₁(x) с разложением в ряд Тейлора для тригонометрических функций sin и cos, можно найти следующие соотношения:

• <math> c_0 (x^2)= \cos (x)</math>
• <math> c_1 (x^2)= \frac{\sin (x)}{x} = \operatorname{sinc}(x)</math>
• <math> c_2 (x^2)= \frac{1-\cos (x)}{x^2}</math>
• <math> c_3 (x^2)= \frac{x-\sin (x)}{x^3}</math>

Аналогично, для гиперболических функций sinh и cosh мы находим:

• <math> c_0 (-x^2)= \cosh (x)</math>
• <math> c_1 (-x^2)= \frac{\sinh (x)}{x}</math>

Для неотрицательных k, <math> c_k (0)= \frac{1}{k!}</math>.

Функции Штумпфа удовлетворяют следующему рекурсивному выражению:

<math>x c_{k+2}(x) = \frac{1}{k!} - c_k(x),\text{ для }k = 0, 1, 2, \ldots\,.</math>

Функции Штумпфа позволяют единообразно описать движение тела в центральном поле для любого значения «кеплеровской энергии» (суммы кинетической и потенциальной энергии), соответствующего движению по эллиптическим (кеплеровская энергия отрицательна), параболическим (кеплеровская энергия в точности равна нулю) и гиперболическим (кеплеровская энергия положительна) траекториям.