Русская Википедия:Функции параболического цилиндра
Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.
В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения
- <math>\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0.\quad (1)</math>
При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:
- <math>\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\nu +\frac12-\frac{z^2}{4}\right)f=0,</math>
решения которого называются функциями Вебера и обозначаются <math>D_\nu (z).</math>
Функции <math>D_\nu (z), D_\nu (-z), D_{-\nu-1} (iz), D_{-\nu-1} (-iz)</math> являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом <math>\nu </math> функции <math>D_\nu (z), D_\nu (-z)</math> линейно независимы. Для всех <math>\nu </math> функции <math>D_\nu (z), D_{-\nu-1} (\pm iz)</math> также линейно независимы.
На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из <math>(1)</math> заменой <math>f(\alpha z+\beta)=e^{-z^2}y(z)</math>
- <math>\frac{d^2y}{dz^2} -2z\frac{dy}{dz}+2\nu y=0.\qquad (2)</math>
Функции Эрмита обозначаются <math>H_\nu(z).</math> Общее решение уравнения <math>(2):</math>
- <math>y(z)=c_1H_\nu(z)+c_2\Phi\left(-\frac{\nu}{2};\frac12;z^2\right),</math>
где <math>\Phi\left(\alpha;\beta;z\right)</math> — вырожденная гипергеометрическая функция.
При целом неотрицательном <math>\nu</math> функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном <math>\nu</math> функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
Рекуррентные соотношения
- <math>D_\nu (z)= \dfrac{\Gamma(\nu+1)}{\sqrt{2 \pi}} \left( e^{\frac{1}{2}\nu \pi i} D_{-\nu - 1}(i z) + e^{-\frac{1}{2}\nu \pi i} D_{-\nu - 1}(-i z) \right) </math>
- <math>D_\nu (z)= z D_{\nu - 1}(z) - (\nu-1)D_{\nu-2}(z) </math>
- <math>H_\nu (z)=2zH_{\nu-1} (z)-2(\nu-1)H_{\nu-2} (z) </math>
- <math>H_\nu (z)=\frac{2z}{2(\nu+1)}H_{\nu+1} (z)-\frac{1}{2(\nu+1)}H_{\nu+2} (z) </math>
- <math> 2\nu~H_{\nu-1} (z)+H_{\nu+1} (z)=2zH_\nu (z) </math>
Формулы дифференцирования
- <math>\frac{d}{dz}~D_\nu (z)= - \dfrac{1}{2} z D_\nu(z) + \nu D_{\nu-1}(z) </math>
- <math>\frac{d}{dz}~H_\nu (z)=2\nu H_{\nu-1}(z) </math>
- <math>\frac{d}{dz}~H_\nu (z)- 2zH_\nu (z)=-H_{\nu+1} (z)</math>
- <math>\frac{d}{dz}\Bigl[e^{-z^2}~H_\nu (z)\Bigr]=-e^{-z^2} H_{\nu+1}(z) </math>
Интегральные представления
Асимптотическое поведение
В начале координат
На бесконечности
Литература
- Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
- Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2
- H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+k^2u=0</math>" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36
Ссылки
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19.
- Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
