Русская Википедия:Функциональное уравнение Коши
Функциональное уравнение Коши для функции <math> f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> имеет вид
- <math> f(x + y) = f(x) + f(y) </math>.
Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только для вещественных.
Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида <math>f(x) = cx</math>, где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дополнительные ограничения, накладываемые на <math>f</math>, могут исключать возможность существования других решений. Например, линейные функции <math>f(x) = cx</math> оказываются единственно возможными решениями, если:
- <math>f</math> непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке.
- <math>f</math> монотонна на некотором интервале.
- <math>f</math> ограничена сверху либо снизу на некотором интервале (частный случай: <math>f</math> сохраняет знак на некотором интервале).
- для некоторого интервала значений аргумента существует ненулевой интервал значений, которые функция <math>f</math> не принимает на этом интервале (более общий вариант предыдущего случая).
- <math>f</math> интегрируема (в частности, по Лебегу) на некотором интервале.
- <math>f</math> измерима на некотором интервале.
С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на <math>f</math>, то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению (см. статью "Базис Гамеля"). Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора. Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.
Другие формы функционального уравнения Коши
Следующие функциональные уравнения эквивалентны аддитивному уравнению Коши <math> f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) </math>:
- логарифмическое уравнение Коши <math> f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) </math> (одно из семейств решений имеет вид <math> f\left(x\right)=c \ln \left| x \right| = \log_{a} \left| x \right| </math>).
- степенное уравнение Коши <math> f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) </math> (одно из семейств решений имеет вид <math> f\left(x\right)= \left| x \right|^a </math>).
- экспоненциальное уравнение Коши <math> f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) </math> (одно из семейств решений имеет вид <math> f\left(x\right)=\exp \left( c x \right) = a^x </math>).
Вырожденным решением этих уравнений является функция <math> f\left(x\right)=0 </math>.
Решение в рациональных числах
Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём <math> n \in \mathbb{N} </math>:
- <math> f(n x) = f(x + x + \cdots + x) = f(x) + f (x) + \cdots + f(x) = n f(x)</math>,
- <math> f \left( \frac{x}{n} \right) = \frac{n f(x / n)}{n} = \frac{f(x)}{n} </math>.
Теперь положим <math> x = y = 0 </math> и <math>y = -x</math>:
- <math> f(0) = f(0) + f(0) \Rightarrow f(0) = 0 </math>,
- <math> f(0) = f(x) + f(-x) \Rightarrow f(-x) = -f(x) </math>.
Собрав всё вместе, получим:
- <math> \forall a \in \mathbb{Q}, x \in \mathbb{R}: f(a x) = a f(x) </math>.
Положив <math>x = 1</math> и обозначив <math> c = f \left( 1 \right) </math>, мы имеем единственное семейство решений <math> f(x)=cx </math> над <math>\mathbb{Q}</math>.
Существование нелинейных решений
Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.
Рассмотрим <math>\mathbb{R}</math> как векторное пространство над полем <math>\mathbb{Q}</math>: в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором <math>\alpha</math> в разложении числа <math>x</math> по базису — это и будет значение <math>f (x)</math>. Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над <math>\mathbb{Q}</math>) и не равна тождественно нулю (<math> f (\alpha) = 1 </math>), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.
В общем случае пусть <math>\{r_\alpha\}</math> — базис Гамеля множества действительных чисел <math>\mathbb{R}</math> над полем рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>. Тогда для каждого вещественного <math>x</math> существует разложение по базису Гамеля <math>x = k_{\alpha_1} r_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} r_{\alpha_n}</math> (где <math>k_i \in \mathbb{Q}</math>), причём такое разложение единственно с точностью до порядка членов разложения и членов с нулевыми множителями. Для аддитивной функции <math>f(x)</math> должно быть выполнено условие <math>f(x) = k_{\alpha_1} f_{\alpha_1} + \cdots + k_{\alpha_n} f_{\alpha_n}</math>, где <math>f_{\alpha_n} = f(r_{\alpha_n})</math> будут фиксированными вещественными числами (за знак аддитивной функции можно выносить рациональные множители, см. предыдущий раздел). Очевидно, что функция <math>f(x)</math>, заданная с помощью этого соотношения, при любом выборе вспомогательных чисел <math>f_{\alpha_n}</math> удовлетворяет аддитивному уравнению Коши <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>. Однако только в том случае, когда <math>f_{\alpha_n} \equiv c \cdot r_{\alpha_n}</math>, где <math>c</math> это произвольное вещественное число, рассматриваемая функция оказывается линейной функцией.
Свойства нелинейных решений
Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график <math>y = f(x)</math> должен быть всюду плотен в <math>\mathbb{R}^2</math>. Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.
Мы можем, поделив функцию на <math> c = f (1) </math>, считать, что <math> \forall a \in \mathbb{Q}: f(a) = a </math>. (Если <math> f (1) = 0 </math>, то <math> \forall a \in \mathbb{Q}: f(a) = 0 </math>, и рассуждения, приводимые ниже, сохраняют свою силу с минимальными изменениями, если предположить, что найдётся точка <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>, для которой <math>f(\alpha) \neq 0</math>.) Если функция <math> f(x) </math> не линейна, то <math>f(\alpha) \neq \alpha</math> для некоторого <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>: положим <math> f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0</math>. Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке <math> (x, y) </math>, радиуса <math>r</math>, где <math> x, y, r \in \mathbb{Q}, r > 0, x \neq y </math>. Ясно, что этого достаточно для плотности графика <math>y = f(x)</math> всюду в <math>\mathbb{R}^2</math>.
Положим <math>\beta = \frac{y - x}{\delta}</math> и выберем рациональное число <math>b \neq 0</math>, близкое к <math>\beta</math>, таким образом, чтобы:
- <math>\left| \beta - b \right| < \frac{r}{3 \left|\delta\right|}</math>
Затем выберем рациональное число <math>a</math>, близкое к <math>\alpha</math>, так, чтобы:
- <math>\left| \alpha - a \right| < \frac{r}{3\left|b\right|} </math>
Теперь возьмем <math> X = x + b (\alpha - a) </math> и, используя функциональное уравнение, получим:
- <math> Y = f(X) = f(x + b (\alpha - a)) </math>
- <math> = x + b f(\alpha) - b f(a) </math>
- <math> = y - \delta \beta + b f(\alpha) - b f(a) </math>
- <math> = y - \delta \beta + b (\alpha + \delta) - b a </math>
- <math> = y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b) </math>
Но тогда <math> (Y - y) ^ 2 + (X - x) ^ 2 = (b (\alpha - a) - \delta (\beta - b))^2 + (b (\alpha - a))^2 \leqslant \left( \frac{r}{3} + \frac{r}{3} \right) ^ 2 + \left( \frac{r}{3} \right) ^ 2 < r ^ 2</math>, то есть точка <math> (X, Y) </math> оказалась внутри круга.
Также можно показать[1], что когда аддитивная функция <math>f(x)</math> не является линейной, она будет разрывной в любой точке вещественной оси, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя, в соответствии с доказанным выше утверждением о плотности графика <math>y = f(x)</math> всюду на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, на любом сколь угодно малом интервале своими значениями всю числовую ось <math>\left( -\infty, +\infty \right)</math> плотным образом.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Решение функционального уравнения Коши — Rutgers UniversityШаблон:Ref-en
