Русская Википедия:Функциональный ряд

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Mercator series.svg

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция <math>\ {u_k}(x)</math>.

Функциональная последовательность

Шаблон:Falseredirect Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве <math>\ E</math>, включённом в d-мерное евклидово пространство <math>\ \mathbb{R}^d</math>.

<math>\ {u_k}(x): E \mapsto \mathbb{C},~~ E \subseteq \mathbb{R}^d,~~ k\in \mathbb{N}</math>

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность <math>\ {u_k}(x)</math> сходится поточечно к функции <math>\ {u}(x)</math>, если <math>\forall x\in E \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x)</math>.

Равномерная сходимость

Существует функция <math>\ u(x): E\mapsto\mathbb{C}</math> такая, что: <math>\ \sup\mid {u_k}(x) - u(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in E</math>

Факт равномерной сходимости последовательности <math>\ {u_k}(x)</math> к функции <math>\ u(x)</math> записывается: <math>\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)</math>

Функциональный ряд

<math>\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)</math>

<math>\ {S_n}(x) = \sum_{k=1}^{n} {u_k}(x)</math> — n-ная частичная сумма.

Сходимость

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность <math>\ {S_n}(x)</math> его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность <math>\ {S_n}(x)</math> его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости ряда

<math>\ {u_k}(x)\rightrightarrows 0</math> при <math>\ k \rightarrow \infty</math>

Или, что эквивалентно <math> \forall\varepsilon>0\,\,\exists n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}:\forall x \in X,\forall n>n_0\,\,\, |{u_n}(x)|<\varepsilon </math>, где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций <math>\left\{ f_n \right\}_{n=1}^\infty</math>, определённых на множестве <math>V</math>, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого <math>\varepsilon>0</math>, начиная с некоторого номера <math>N=N(\varepsilon)</math>, при всех <math>n, m</math>, больше либо равных <math>N</math>, одновременно для всех <math>x \in V</math> значения функций <math>f_n(x)</math> и <math>f_m(x)</math> различались не более, чем на <math>\varepsilon</math>.

<math>\forall \varepsilon > 0 \; \exists N=N(\varepsilon) \; \forall n, m \geq N \; \forall x \in V \; \left|{f_n}(x) - \ {f_m}(x)\right| < \varepsilon</math>

Абсолютная и условная сходимость

Ряд <math>\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)</math> называется абсолютно сходящимся, если <math>\sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid</math> сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд <math> \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)</math> сходится, а <math> \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid</math> расходится, то ряд <math> \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)</math> называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд <math>\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)</math> сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд <math>\ \sum_{k=1}^{\infty} {v_k}(x)</math> сходится равномерно.
2. <math>\ \mid{u_k}(x)\mid < {v_k}(x),~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}</math>

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда <math>\ {v_k}(x) = a_k </math>. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле

Ряд <math>\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}</math> сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций <math>\ {a_k}(x)</math> монотонна <math>\ \forall x\in E</math> и <math>\ {a_k}(x)\rightrightarrows 0</math>
2. Частичные суммы <math>\ {S_n}(x)=\sum_{k=1}^{n} {u_k}(x)</math> равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд <math>\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}</math> сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций <math>\ {a_k}(x)</math> равномерно ограничена и монотонна <math>\ \forall x\in E</math>.
2. Ряд <math>\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)</math> равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве <math>\ E</math>

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность <math>\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)</math>

<math>\ \forall k:</math> функция <math>\ {u_k}(x)</math> непрерывна в точке <math>\ x_0</math>

Тогда <math>\ u(x)</math> непрерывна в <math>\ x_0</math>.

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд <math>\ \sum_{k=0}^{\infty} {u_k}(x)\rightrightarrows S(x)</math>

<math>\ \forall k:</math> функция <math>\ {u_k}(x)</math> непрерывна в точке <math>\ x_0</math>

Тогда <math>\ S(x)</math> непрерывна в <math>\ x_0</math>.

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

<math>\ \forall k:</math> функция <math>\ {u_k}(x)</math> непрерывна на отрезке <math>\ [a, b]</math>

<math>\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)</math> на <math>\ [a, b]</math>

Тогда числовая последовательность <math>\left\{ {\int\limits_a^b {{u_k}(x)dx} } \right\}</math> сходится к конечному пределу <math>\int\limits_a^b {u(x)dx}</math>.

Теорема о почленном интегрировании.

<math>\ \forall k:</math> функция <math>\ {u_k}(x)</math> непрерывна на отрезке <math>\ [a, b]</math>

<math>\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x)</math> на <math>\ [a, b]</math>

Тогда числовой ряд <math>\ \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{b} {u_k}(x)dx</math> сходится и равен <math> \int\limits_{a}^{b} S(x)dx</math>.

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

<math>\ \forall k:</math> функция <math>\ {u_k}(x)</math> дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке <math>\ [a, b]</math>

<math>\ \exist c\in [a, b]:~u_k(c)</math> сходится (к конечному пределу)

<math>\ {u'_k}(x)\rightrightarrows \omega(x)</math> на отрезке <math>\ [a, b]</math>

Тогда <math>\ \exist u(x):~{u_k}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)</math> — дифференцируема на <math>\ [a, b]</math>, <math>\ u'(x)=\omega(x)</math> на <math>\ [a, b]</math>

Теорема о почленном дифференцировании.

<math>\ \forall k:</math> функция <math>\ {u_k}(x)</math> дифференцируема на отрезке <math>\ [a, b]</math>

<math>\ \exist c\in [a, b]:~ \sum_{k=1}^{\infty} u_k(c)</math> сходится

<math>\ \sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)</math> равномерно сходится на отрезке <math>\ [a, b]</math>

Тогда <math>\ \exist S(x):~\sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)</math> — дифференцируема на отрезке <math>\ [a, b]</math>, <math>\ S'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)</math> на <math>\ [a, b]</math>

Ссылки

• Шаблон:Книга Глава 16 Функциональные последовательности и ряды