Русская Википедия:Функционал Минковского
Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.
Определение
Для любого векторного пространства <math>X</math> (вещественного или комплексного) и его подмножества <math>K</math> функционал Минковского <math>\ \mu_K:X \rightarrow [0, \infty)</math> определяется как:
- <math>\mu_K (x) = \inf \left\{r > 0: x \in r K \right\} </math>.
Предполагается, что <math>0 \in K</math> и множество <math>\{r>0 \mid x \in rK\}</math> непусто. При дополнительных условиях на <math>K</math> функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:
- из выпуклости и симметричности <math>K</math> следует субаддитивность <math>\mu_K</math>, то есть <math>\ \mu_K (\alpha x + \beta y) \le \alpha \mu_K (x) + \beta \mu_K (y)</math>;
- однородность — <math>\mu_K(\alpha x) = |\alpha| \mu_K(x)</math> для всех <math>\alpha</math> достигается, если <math>K</math> — сбалансированное множество, то есть <math>\alpha K \subset K</math> для всех <math>|\alpha| \leqslant 1</math>.
Свойства
Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств <math>K</math>, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в <math>X</math> и <math>X^*</math>, так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть <math>X</math> — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества <math>K \subseteq X</math> сопряжённое множество <math>K^* \subseteq X^*</math> вводится как множество, опорная функция <math>s(p,K^*)</math> которого на векторах <math>p \in X</math> совпадает с <math>p_K</math>:
- <math>\forall p \in X ~s(p,K^*)=\mu_K(p)</math>.
При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного <math>K</math> выполнено:
- <math>\ K^{* *} = K</math>
Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство <math>X^{**}</math> содержит элементы, не лежащие в <math>X</math>. Можно доопределить опорную функцию на <math>K^*</math>, положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении <math>X \hookrightarrow X^{**}</math> образ <math>K</math> совпадает с <math>K^{**}</math> (при выпуклости и сбалансированности).
См. также
Другие проявления двойственности Минковского:
Литература
- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
