Русская Википедия:Функция Гомпертца

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца, названная в честь Бенджамина Гомпертца, является сигмовидной функцией. Это тип математической модели для временных рядов, где рост медленнее в начале и в конце периода. Она напоминает логистическую кривую, но не симметричную, а с более пологим правым хвостом, то есть замедление роста происходит не так быстро, как происходило его ускорение.

Графики кривых Гомпертца, показывающие влияние изменения одного из параметров при сохранении других постоянными

Файл:Gompertz-a.svg Вариация <math>a</math>

Файл:Gompertz-b.svg Вариация <math>b</math>

Файл:Gompertz-c.svg Вариация <math>c</math>

Формула

<math>y(t)=ae^{be^{ct}}</math>

где

• a верхняя асимптота <math> ae^{be^{- \infty }}=ae^0=a </math>
• b, c отрицательные числа (параметры роста)
• b устанавливает смещение по x
• c задаёт темп роста (масштабирование по x)
• e число Эйлера (e = 2.71828…)

Производная

Функция кривой может быть получена из закона смертности Гомпертца, в котором говорится, что уровень смертности (распада) экспоненциально падает с возрастом.

<math>k^{r} \propto \frac{1}{y(t)} </math>

где

• <math>r=\frac{y'(t)}{y(t)}</math> - темп роста.
• k - произвольная постоянная.

Примеры использования

Примеры использования для кривых Гомпертца включают в себя:

• Количество мобильных телефонов: пока стоимость была высокой рост был медленный, а затем период быстрого роста, а затем замедление когда было достигнуто насыщение.
• Население в ограниченном пространстве, так как уровень рождаемости сначала повышается, а затем медленно спадает по мере ограничения ресурсов.
• Моделирование роста опухоли.
• Моделирование роста википедии.

См. также

• Распределение Гомпертца
• Кривая роста

Внешние ссылки

• Шаблон:MathWorld