Русская Википедия:Функция Грина для случайно-неоднородной среды
Главным образом интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны, прошедшей через среду, и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь играет функция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.
Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция Грина
Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля <math>u=u(\mathbf{r},\;t)</math>. Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей; тогда <math>u=u(\mathbf{r},\;t)</math> удовлетворяет волновому уравнению:
- <math>\frac{\varepsilon(\mathbf{r},\;t)}{c^2}\frac{\partial^2 u(\mathbf{r},\;t)}{\partial t^2}-\Delta u(\mathbf{r},\;t)=0,</math>
- <math>\varepsilon(\mathbf{r},\;t)=\varepsilon_0+\delta\varepsilon(\mathbf{r},\;t),</math>
где <math>c</math> — скорость света в вакууме, <math>\varepsilon_0</math> — среднее значение диэлектрической проницаемости, <math>\delta\varepsilon(\mathbf{r},\;t)</math> — флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости <math>\varepsilon_0</math> предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна. Также с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и неусреднённая диэлектрическая проницаемость <math>\varepsilon(\mathbf{r},\;t)=\varepsilon(\mathbf{r})</math> не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядков больше характерных времён электромагнитного поля, поэтому среда как бы «не успевает среагировать» на изменение поля.
Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нём присутствует случайный параметр <math>{\delta \varepsilon(\mathbf{r})}</math>. Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.
Описывая рассеяние, интересны характеристики поля <math>u=u(\mathbf{r},\;t)</math>, усреднённые по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля <math>\langle u(\mathbf{r},\;t)\rangle</math> и интенсивность <math>I=I(\mathbf{r},\;t)</math>, которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведётся по флуктуациям диэлектрической проницаемости) <math>\langle{u(\mathbf{r},\;t)}^2\rangle</math>. Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усреднённое отклонение от среднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:
- <math>\langle\delta\varepsilon(\mathbf{r})\rangle=0.</math>
Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде <math>u(\mathbf{r},\;t)=0</math>. Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида:
- <math>u(\mathbf{r},\;t)=u_0\exp[i\mathbf{k_0}\mathbf{r}-iwt].</math>
Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем:
- <math>-\frac{w^2\varepsilon_0}{c^2}u(\mathbf{r},\;t)+k_0^2u(\mathbf{r},\;t)=0.</math>
Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны <math>w</math> и волновой вектор <math>k_0</math> связаны дисперсионным соотношением:
- <math>k_0^2=\frac{w^2\varepsilon_0}{c^2}.</math>
Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.
Определим функцию Грина <math>G(\mathbf{r},\;t)</math>. Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения, в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника <math>w</math>). Полагаем, что источник «адиабатически включился в бесконечно далёком прошлом», для этого дополним правую часть множителем <math>\exp[\alpha t]</math>, где <math>\alpha</math> — малая положительная величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:
- <math>\frac{\varepsilon(\mathbf{r})}{c^2}\frac{\partial^2 G(\mathbf{r},\;t)}{\partial t^2}-\Delta G(\mathbf{r},\;t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r}).</math>
Удобно искать решение этого уравнения в виде <math>G(\mathbf{r},\;t)=e^{-iwt+\alpha t}G(\mathbf{r})</math>. Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:
- <math>\frac{\varepsilon(\mathbf{r})G(\mathbf{r})}{c^2}\frac{\partial^2 e^{-iwt+\alpha t}}{\partial t^2}-e^{-iwt+\alpha t}\Delta G(\mathbf{r})=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r}).</math>
От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель <math>-(w+i\alpha)^2</math>, тогда получаем уравнение для функции <math>G(\mathbf{r})</math>:
- <math>\frac{-\varepsilon(\mathbf{r})(w+i\alpha)^2}{c^2}G(\mathbf{r})-\Delta G(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}).</math>
Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости <math>\varepsilon(\mathbf{r}),</math> а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям <math>\delta\varepsilon(\mathbf{r})</math>. Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение <math>\delta\varepsilon(\mathbf{r})</math> малой величиной.
Функция Грина для среды без флуктуаций диэлектрической проницаемости
Для начала необходимо найти функцию Грина <math>G(\mathbf{r},\;t)</math>, отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемости, то есть <math>\varepsilon(\mathbf{r})=\varepsilon_0</math>: Шаблон:Формула Снова ищем решение в виде <math>G_0(\mathbf{r},\;t)=e^{-iwt+\alpha t}G_0(\mathbf{r})</math>. Тогда <math>G_0(\mathbf{r})</math> удовлетворяет уравнению: Шаблон:Формула где величиной <math>k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon_0}(w+i\alpha)}{c}</math>. Видно, что у <math>k_0</math> присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение <math>(2)</math> удобно решать с помощью преобразования Фурье вида: Шаблон:Формула\,d\mathbf{r},</math>
|3 }}
Шаблон:Формула\,d\mathbf{k},</math>
|4 }}
Выражение <math>(3)</math> — прямое Фурье-преобразование, <math>F(\mathbf{k})</math> — Фурье-образ функции <math>F(\mathbf{r})</math>, выражение <math>(4)</math> — обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина <math>G_0(\mathbf{r})</math> будем обозначать через <math>G_0(\mathbf{k})</math>. Применяя Фурье-преобразования к уравнению <math>(2)</math> и учитывая, что <math>\delta</math>-функция является Фурье-образом единицы, получаем: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Чтобы получить функцию <math>G_0(\mathbf{r})</math>, делаем обратное Фурье-преобразование <math>G_0(\mathbf{k})</math>: Шаблон:Формула}{k^2-k_0^2}\,d\mathbf{k}.</math>
|7 }}
Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора <math>\mathbf{r}</math> (под полярной осью понимается ось, от которой отсчитывается угол <math>\theta</math>):
- <math>G_0(\mathbf{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{k^2-k_0^2}\,d\mathbf{k}=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\limits_0^{2\pi}\,d\varphi\int\limits_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta\int\limits_0^\infty k^2\frac{e^{ikr\cos\theta}}{k^2-k_0^2}\,dk=</math>
- <math>=\frac{2\pi}{8\pi^3}\int\limits_\pi^0\,d\cos\theta\int\limits_0^\infty k^2\frac{e^{ikr\cos\theta}}{k^2-k_0^2}\,dk=\frac{1}{4\pi^2}\int\limits_0^\infty\frac{k^2}{k^2-k_0^2}\Bigl[\frac{e^{ikr\cos\theta}}{ikr\cos\theta}\Bigr]_\pi^0\,dk=</math>
- <math>=\frac{1}{4\pi^2}\int\limits_0^\infty\frac{k^2}{k^2-k_0^2}\Bigl(\frac{e^{ikr}}{ikr}-\frac{e^{-ikr}}{ikr}\Bigr)\,dk=\frac{1}{4\pi^2ir}\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2-k_0^2}\,dk=</math>
- <math>=\frac{1}{8\pi^2ir}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{ke^{ikr}}{k^2-k_0^2}\,dk-\frac{1}{8\pi^2ir}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{ke^{-ikr}}{k^2-k_0^2}\,dk=\frac{2\pi ie^{ik_0r}}{8\pi^2ir2}+\frac{2\pi ie^{ik_0r}}{8{\pi}^2ir2}=\frac{e^{i{k_0}r}}{4\pi r}.</math>
Для вычисления интеграла по сферическим координатам мы воспользовались четностью функции <math>\frac{k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2-k_0^2}</math>, а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает <math>e^{ikr}</math>, тогда вычет берётся в <math>k=k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon_0}(w+i\alpha)}{c}</math>. Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке <math>k=-k_0</math>, при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Направление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель <math>(-1)</math>.
Итоговое выражение для функции Грина будет:
- <math>G_0(\mathbf{r},\;t)=\frac{e^{ik_0r-iwt+\alpha t}}{4\pi r}.</math>
Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как <math>\frac{1}{r}</math> по мере удаления от источника.
Функция Грина с учётом флуктуаций диэлектрической проницаемости
Перепишем уравнение
- <math>-\frac{\varepsilon(\mathbf{r})(w+i\alpha)^2}{c^2}G(\mathbf{r})-\Delta G(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r})</math>
в виде
- <math>(-k_0^2-\Delta)G(\mathbf{r})=\frac{\delta\varepsilon(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}k_0^2G(\mathbf{r})+\delta(\mathbf{r}).</math>
Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать <math>\delta\varepsilon(\mathbf{r})</math> малой величиной, удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:
- <math>G(\mathbf{r})=G_0(\mathbf{r})+\frac{{k_0}^2}{\varepsilon_0}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})G(\mathbf{r_1})\,dr_1.</math>
Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:
- <math>G(\mathbf{r})=G_0(\mathbf{r})+\frac{k_0^2}{\varepsilon_0}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})G_0(\mathbf{r_1})\,d\mathbf{r_1}+</math>
- <math>+\frac{k_0^4}{\varepsilon_0^2}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})\int G_0(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2})\delta\varepsilon(\mathbf{r_2})G_0(\mathbf{r_2})\,d\mathbf{r_1}\,d\mathbf{r_2}+\ldots</math>
Величина <math>G(\mathbf{r})</math> — случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднить по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоёмкий шаг.
Литература
- Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. — Ч. 2. Случайные поля. — М.: Наука, 1978.
- Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. — Т. 1, 2. — М.: Мир, 1981.
