Русская Википедия:Функция Дикмана
В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана — де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике[1]. Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном[2][3].
Определение
Функция Дикмана — де Брёйна <math>\rho(u)</math> — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом
- <math>u\rho'(u) + \rho(u-1) = 0</math>
с начальными условиями <math>\rho(u) = 1</math> для 0 ≤ u ≤ 1.
Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что
- <math>\Psi(x, x^{1/a})\sim x\rho(a)</math>
где <math>\Psi(x,y)</math> — число y-гладких целых, меньших x.
В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что
- <math>\Psi(x,x^{1/a})=x\rho(a)+O(x/\log x)</math>
Приложения
Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.
Используя <math>\log\rho</math>, можно показать, что [5]
- <math>\Psi(x,y)=xu^{O(-u)}</math>,
что связано с оценкой <math>\rho(u)\approx u^{-u}</math>, приведенной ниже.
Постоянная Голомба — Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана — де Брёйна.
Оценка
Простым приближением может служить <math>\rho(u)\approx u^{-u}.</math> Лучшую оценку даёт[6]
- <math>\rho(u)\sim\frac{1}{\xi\sqrt{2\pi u}}\cdot\exp(-u\xi+\operatorname{Ei}(\xi))</math>,
где Ei — интегральная показательная функция, а ξ — положительный корень уравнения
- <math>e^\xi-1=u\xi.</math>
Простую верхнюю оценку дает <math>\rho(x)\le1/x!.</math>
| <math>u</math> | <math>\rho(u)</math> |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3.0685282Шаблон:E |
| 3 | 4.8608388Шаблон:E |
| 4 | 4.9109256Шаблон:E |
| 5 | 3.5472470Шаблон:E |
| 6 | 1.9649696Шаблон:E |
| 7 | 8.7456700Шаблон:E |
| 8 | 3.2320693Шаблон:E |
| 9 | 1.0162483Шаблон:E |
| 10 | 2.7701718Шаблон:E |
Вычисление
Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция <math>\rho_n</math>, такая, что <math>\rho_n(u)=\rho(u)</math>. Для 0 ≤ u ≤ 1, <math>\rho(u) = 1</math>. Для 1 ≤ u ≤ 2, <math>\rho(u) = 1-\log u</math>. Для 2 ≤ u ≤ 3,
- <math>\rho(u) = 1-(1-\log(u-1))\log(u) + \operatorname{Li}_2(1 - u) + \frac{\pi^2}{12}</math>,
где Li2 — дилогарифм. Остальные <math>\rho_n</math> могут быть вычислены, используя бесконечные ряды[7].
Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций[6][8].
Расширение
Бах и Перальта определили двумерный аналог <math>\sigma(u,v)</math> функции <math>\rho(u)</math>[7]. Эта функция используется для оценки функции <math>\Psi(x,y,z)</math>, аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда
- <math>\Psi(x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma(b,a).</math>
Ссылки
Внешние ссылки
