Русская Википедия:Функция Доусона
В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона) — неэлементарная функция действительного переменного:
- <math>F(x) = e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt.</math>
Свойства
- Общие свойства
- Нечётная функция: <math>F(-x)=-F(x)</math>.
- Производная: <math>\frac{d}{dx}F(x)=1-2xF(x)</math>.
- Неопределённый интеграл: <math>\int F(x)\,dx= \frac{1}{2} x^2 {}_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-x^2\right)</math>, где <math>{}_2F_2\left(a,b;c,d;z\right)</math> - обобщённая гипергеометрическая функция.
- Является дробной производной обратной экспоненты: <math>D^{-1/2}e^{-x}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} F(\sqrt{x})</math>.
- Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения <math>1-\sqrt{\pi}e^{-x^2} x \, \mathrm{erfi} (x)=0</math>: <math>F(0,9241388730)=0,541044246</math>. Дроби задаются последовательностями цифр Шаблон:OEIS и Шаблон:OEIS.
- Имеет точку перегиба: <math>F(1,5019752683)=0,4276866160</math> (Шаблон:OEIS).
- Раскладывается в цепные дроби:
- <math>F(z)=\cfrac{1}{1+\cfrac{2z^2}{3-\cfrac{4z^2}{5+\cfrac{6z^2}{7-\cfrac{8z^2}{9+\cdots}}}}}</math>
- <math>F(z)=\cfrac{z}{1+2z^2-\cfrac{4z^2}{3+2z^2-\cfrac{8z^2}{5+2z^2-\cfrac{12z^2}{7+2z^2-\cdots}}}}</math>
- Функция ошибок
Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:
- <math> F(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x)
= - {i \sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erf} (ix) </math>
где erfi является мнимой частью функции ошибок, Шаблон:Nowrap
Для |x|, близких к нулю, Шаблон:Nowrap а для |x| больших, Шаблон:Nowrap Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:
- <math> F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \, 2^k}{(2k+1)!!} \, x^{2k+1}
= x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{15} x^5 - \cdots</math>
- <math>F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}\, x^{2n+1}=x-\frac23x^3+\frac4{15}x^5-\dots</math>
(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около <math>+\infty</math>, имеется асимптотическое разложение:
- <math>F(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{8x^5}+\dots+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n+1} x^{2n+1}}+o(x^{-2n-2} )</math>
(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).
- Альтернативное определение
F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
- <math> \frac{dF}{dx} + 2xF=1</math>
с начальным условием F (0) = 0.
Обобщения
Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: <math>D_+(x)=e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt</math>, тогда вводят "симметричную" её в нотации: <math>D_-(x)=e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2}\,dt</math> ; в таких обозначениях:
- <math> D_+(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x)</math> и
- <math> D_-(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{x^2} \mathrm{erf} (x)</math>.
См. также
Литература
- Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
Ссылки
- Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
- Шаблон:MathWorld
- Функция ошибок
- Реализации функции Доусона
