Русская Википедия:Функция Кёнигса
Фу́нкция Кё́нигса связана с решением функционального уравнения
- <math>\textstyle F[f(x)] = cF(x), </math>
где <math>\textstyle F(x)</math> — неизвестная функция, <math>\textstyle f(x)</math> и <math>\textstyle c</math> — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют Шаблон:Нп1.
- Пусть <math>\textstyle f(x)</math> — аналитическая функция, и пусть <math>\textstyle f(\alpha) = \alpha</math>, где <math>\alpha \ne \infty</math>, причем
- <math> \left|\frac{df(\alpha)}{dx}\right| < 1</math>.
Это значит, что <math>\textstyle \alpha </math> является притягивающей неподвижной точкой функции <math>\textstyle f(x)</math>. Пусть <math>\textstyle f^k(x) </math> есть <math>\textstyle k </math>-я итерация функции <math>\textstyle f(x) </math>:
- <math> f^0(x) = x, ~~ f^1(x) = f(x), ~~ f^k(x) = f(f^{k-1}(x))</math> при <math>k = 1,2,3,\ldots </math>
Для всякого <math>\textstyle x</math>, принадлежащего некоторой окрестности точки <math>\textstyle \alpha</math>, последовательность итераций <math>{f^k(x)} ~ (k = 0,1,2,\ldots)</math> сходится к <math>\textstyle \alpha</math>.
- Предположив также, что
- <math> \frac{df(\alpha)}{dx} = c \ne 0, </math>
можно показать, что в окрестности точки <math>\textstyle \alpha</math> существует предел
- <math> K_f(x) = \lim_{k\to\infty} \frac{f^k(x)-\alpha}{[\frac{df(\alpha)}{dx}]^k} ~ , </math>
который является в этой окрестности аналитической функцией переменной <math>\textstyle x </math> и обладает свойствами
- <math> K_f(\alpha) = 0, ~~ \frac{dK_f(\alpha)}{dx} = 1. </math>
Функция <math>\textstyle K_f(x)</math> есть функция Кёнигса. Её ввел в 1884 французский математик Шаблон:Нп1[1] при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки <math>\textstyle x = \alpha</math> решение уравнения Шрёдера, в котором <math>\textstyle 0 < |c| < 1</math>, отличается от <math>\textstyle K_f(x)</math> только постоянным множителем.
- Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Генри Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если
<math>\textstyle f(x) = \sqrt{x}</math> и <math>\textstyle c = \frac{1}{2}</math>, то решением соответствующего уравнения Шрёдера
- <math>\textstyle F[\sqrt{x}] = \frac{1}{2}F(x)</math>,
является <math>\textstyle F(x) = \log_px</math> для любого <math>\textstyle p > 0 </math>, так что <math>\textstyle F(x) = A\log_{10}x </math>, где <math>\textstyle A = \log_p{10} </math> — произвольная константа. Метод вычисления функции <math>\textstyle \log_{10}x </math> у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».
Примечания
Литература
- Briggs H. Arithmetica logarithmica. Londini, 1624
- Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
- Koenigs G. Recherches sur les intégrals de certaines équations fontionnelles. Ann. École Normale, Suppl., 1884, (3)1.
- Montel P. Leçons sur les récurrences et leurs applications. Paris, 1957.
- Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25—51.
- Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций. // Матем. сборник, т. 193 (2002), № 7, с. 69-86.
