Русская Википедия:Функция Мертенса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел <math>n</math> формулой:

<math>M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)</math>,

где <math>\mu(k)</math> — функция Мёбиуса. Иными словами, <math>M(n)</math> — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих <math>n</math> и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.

Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом:

<math>M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k)</math>.

Названа в честь Франца Мертенса, предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).

Свойства

Модуль функции не превосходит аргумент:

<math>|M(x)|\leqslant x</math>.

Нетривиальное доказанное свойство — <math>M(x) = o(x)</math>. Также установлено, что <math>M(x) = M([x])</math>, где <math>[x]</math> — целая часть числа <math>x</math>.

Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если <math>c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d</math>, то при <math>x\geqslant 1</math> справедливо тождество:

<math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x)</math>, где <math>C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n</math> — сумматорная функция последовательности <math>c_n</math>.

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при <math>x\geqslant 1</math>:

<math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1</math> — характеристическое свойство функции Мертенса;

<math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x)</math>, где <math>\psi(x)</math> — вторая функция Чебышёва;

<math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\sqrt{x})</math>;

<math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!</math>, где <math>\Lambda(k)</math> — функция Мангольдта;

<math>\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x]</math>, где <math>\tau(k)</math> — количество делителей числа <math>k</math>.

Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях <math>n</math>:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения <math>-1,0,1</math>, функция Мертенса изменяется медленно: для всех <math>n</math> верно, что <math>|M(n)| \leqslant n</math>. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех <math>n</math> абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из <math>n</math>: <math>|M(n)| \leqslant \sqrt{n}</math>. Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году Шаблон:Iw и Шаблон:Iw. Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте <math>M(n)</math>, а именно <math>M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})</math>. Поскольку наибольшие значения <math>M(n)</math> растут как минимум так же быстро, как и корень из <math>n</math>, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса (<math>O</math> обозначает O большое).

Первые 160 значений

<math>n</math>	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
<math>M(n)</math>	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
<math>n</math>	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
<math>M(n)</math>	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
<math>n</math>	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
<math>M(n)</math>	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
<math>n</math>	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
<math>M(n)</math>	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
<math>n</math>	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
<math>M(n)</math>	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1
<math>n</math>	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
<math>M(n)</math>	0	-1	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-4	-5	-4	-4	-5	-6	-5	-5	-5	-4	-3	-3
<math>n</math>	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
<math>M(n)</math>	-3	-2	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4
<math>n</math>	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
<math>M(n)</math>	-3	-2	-1	-1	0	1	1	1	0	0	-1	-1	-1	-2	-1	-1	-2	-1	0	0

Интегральное представление

Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление:

<math>\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^s}</math>,

где <math>\zeta(s)</math> — это дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым <math>p</math>. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, получается:

<math> \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x), </math>

где <math>C</math> — замкнутая кривая, окружающая все корни <math>\zeta(s)</math>.

Для обращения используется преобразование Меллина:

<math>\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,</math>

которое сохраняется при <math>\Re(s)>1</math>.

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни <math>\zeta (\rho)</math>, получается «точная формула» по теореме о вычетах:

<math>\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.</math>

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:

<math>\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac{x}{t+1}\right) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),</math>

где <math>H(x)</math> — функция Хевисайда, <math>B_{2r}</math> — числа Бернулли, и все производные по <math>t</math> вычисляются при <math>t=0</math>.

Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:

<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)}{\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,</math>

где <math>t</math> в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а <math>(g, h)</math> связаны преобразованием Фурье, так что:

<math>\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du</math>.

Представление через последовательность Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

<math>M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a}</math>,

где <math>\mathcal{F}_n</math> — последовательность Фарея порядка <math>n</math>.

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля — Ландау.

Выражение через определитель

<math>M(n)</math> равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка <math>n</math>, в которой <math>a_{ij}=1</math> тогда и только тогда, когда <math>j=1</math> или <math>i \mid j</math>.

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

<math>\begin{cases}

x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1 \\ x_2 + x_4 + \dots + x_{2[n/2]} = 1 \\ x_3 + x_6 + \dots + x_{3[n/3]} = 1 \\ \dots \\ \sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\ \dots\\ \end{cases} </math>

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа <math>x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\dots,\,x_k = M(n/k),\,\dots,\,x_n = M(n/n) = 1,</math> в силу характеристического свойства функции Мертенса: <math>\sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1</math>

При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что <math>x_1</math>, равный <math>M(n)</math>, равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка <math>n</math>.

Вычисление

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов <math>n</math>:

• Мертенс (1897) — 10⁴,
• фон Штернек (1897) — 1,5Шаблон:E,
• фон Штернек (1901) — 5Шаблон:E,
• фон Штернек (1912) — 5Шаблон:E,
• Нойбауэр (1963) — 10⁸,
• Коэн и Дресс (1979) — 7,8Шаблон:E,
• Дресс (1993) — 10¹²,
• Лиун и ван де Луне (1994) — 10¹³,
• Котник и ван де Луне (2003) — 10¹⁴

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих <math>N</math>, может быть вычислена за время <math>O(N^{1+\varepsilon})</math>. Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение <math>M(N)</math> за время <math>O(N^{2/3+\varepsilon})</math>.

Приложения

В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из <math>M(x)=o(x)</math> следует <math>\pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\right)</math>.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Книга
• F. Mertens, «Uber eine zahlentheoretische Funktion», Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761—830.
• A. M. Odlyzko and Herman te Riele, «Disproof of the Mertens Conjecture», Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138—160.
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:OEIS
• Deleglise, M. and Rivat, J. «Computing the Summation of the Mobius Function.» Experiment. Math. 5, 291—295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447