Русская Википедия:Функция Минковского
Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция <math>?(x)</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>, обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида <math>a + \sqrt{b},</math> где <math>a</math> и <math>b</math> рациональные) на отрезке <math>[0, 1]</math> в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.
Построение
Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.
Задание с помощью дерева Штерна — Броко
В концах отрезка функция Минковского задаётся как <math>?(0) = 0</math> и <math>?(1) = 1</math>. После этого для любых двух рациональных чисел <math>\frac{a}{b}</math> и <math>\frac{c}{d}</math>, для которых <math>ad - bc = 1</math> — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте <math>\frac{a + c}{b + d}</math> определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:
- <math>?\left(\frac{a + c}{b + d}\right) = \frac{1}{2} \left[?\left(\frac{a}{b}\right) + {}?\left(\frac{c}{d}\right)\right].</math>
Так
- <math>?\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{?(0) + {}?(1)}{2} = \frac{1}{2},</math>
- <math>?\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{?(0) + {}?(1/2)}{2} = \frac{1}{4},</math>
- <math>?\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{?(1/2) + {}?(1)}{2} = \frac{3}{4}</math>
и так далее.
Поскольку последовательности
- <math>\frac{0}{1}, \frac{1}{1},</math>
- <math>\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1},</math>
- <math>\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1},</math>
в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка <math>[0, 1]</math> (см. дерево Штерна — Броко), такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках <math>[0, 1]</math>. Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа <math>[0, 1]</math> — иными словами, плотное в <math>[0, 1]</math> множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции <math>? \colon [0, 1] \to [0, 1]</math>, и это и есть функция Минковского.
Задание с помощью цепной дроби
Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку <math>x \in [0, 1]</math>, раскладывающуюся в цепную дробь как <math>x = [0; a_1, a_2, \ldots]</math>, функция Минковского переводит в
- <math>?(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2^{a_1 + \ldots + a_k - 1}}.</math>
Иными словами, точка
- <math>x = \frac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{a_3 + \ldots}}}</math>
переходит в точку
- <math>?(x) = 0{,}\underbrace{0 \ldots 0}_{a_1-1}\underbrace{1 \ldots 1}_{a_2}\underbrace{0 \ldots 0}_{a_3}\underbrace{1 \ldots 1}_{a_4}\ldots_{(2)}.</math>
Самоподобие
Пусть точка <math>x \in [0, 1]</math> задаётся цепной дробью <math>x = [0; a_1, a_2, \ldots]</math>. Тогда увеличение <math>a_1</math> на единицу, то есть, переход к <math>y = [0; a_1 + 1, a_2, \ldots]</math> задаётся отображением
- <math>f \colon x \mapsto y = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} = \frac{x}{1 + x},</math>
а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:
- <math>?\left(\frac{x}{1 + x}\right) = \frac{?(x)}{2}.\qquad(1)</math>
С другой стороны, из симметрии относительно <math>1/2</math> медиантной конструкции легко видеть, что
- <math>?(1 - x) = 1 - {}?(x).\qquad(2)</math>
Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения <math>g(x) = 1 - f(1 - x) = 1 - \frac{1 - x}{2 - x} = \frac{1}{2 - x}</math> функция Минковского преобразуется как
- <math>?\left(\frac{1}{2 - x}\right) = \frac{1 + {}?(x)}{2}.</math>
Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований
- <math>F(x, t) = \left(\frac{x}{1 + x}, \frac{t}{2}\right), \quad G(x, t) = \left(\frac{1}{2 - x}, \frac{1 + t}{2}\right).\qquad(3)</math>
Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ <math>F</math> — это часть графика над отрезком <math>[0, 1/2]</math>, а образ <math>G</math> — график над отрезком <math>[1/2, 1]</math>.
Построение графика как фрактала
График функции Минковского может быть построен как предельное множество для en (iterated function system). А именно, отображения <math>F</math> и <math>G</math>, заданные формулами (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому последовательность множеств <math>X_n</math>, определённая рекурсивно соотношениями
- <math>X_0 = [0, 1] \times [0, 1], \quad X_{n+1} = F(X_n) \cup G(X_n),</math>
есть убывающая по вложению последовательность множеств, причём график <math>\Gamma = \big\{\big(x, ?(x)\big) \mid x \in [0, 1]\big\}</math> функции Минковского содержится в любом из них.
Несложно увидеть, что <math>X_n</math> является объединением прямоугольников высоты <math>1/2^n</math>, поэтому предельное множество
- <math>X_\infty = \bigcap_n X_n</math>
является графиком некоторой функции. Поскольку <math>\Gamma \subset X_\infty</math>, то они совпадают. Поэтому график функции Минковского это предельное множество системы итерируемых функций
- <math>F, G : [0, 1]^2 \to [0, 1]^2.</math>
Свойства
- Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке <math>x \in [0, 1]</math> её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на <math>[0, 1]</math>, функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
- Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке <math>[0, 1]</math> в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
- Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке <math>[0, 1]</math> в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число <math>x</math> является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности <math>?(x)</math>.
- График функции Минковского переводится в себя отображениями <math>F</math> и <math>G</math>, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.
Литература
- Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
- Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
- Шаблон:Citation, ссылка.
- Шаблон:Citation.
- Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.
См. также
Ссылки
