Пусть <math>W</math> ― гладкое многообразие, край которого <math>\partial W</math> является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий <math>F_0</math> и <math>F_1</math>.
Функция Морса триады <math>(W; F_0, F_1)</math> ― такая гладкая класса <math>C^2</math> функция <math>f: W \to [a, b]</math>, <math>-\infty < a, b < +\infty</math>
(или <math>f: W \to [a, \infty]</math>) при <math>F_1 = \varnothing</math>, что:
<math>F_0 = f^{-1}(a), F_1 = f^{-1}(b),</math>
все критические точки функции <math>f</math> лежат в <math>W \backslash \partial W = f^{-1}(a, b)</math> и невырождены.
Свойства
Если многообразие <math>W</math> конечномерно, то для <math>k \geqslant 2</math> множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
В пространстве всех <math>C^k</math>-гладких (<math>k \geqslant 2</math>) функций
<math>f: (W, F_0, F_1) \to ([a, b], a, b)</math>
множество функций Морса является плотным открытым множеством[1].
Вариации и обобщения
Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия.
При этом требуется дополнительное условие:
(условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве <math>K \subset W</math>, где функция <math>f</math> ограничена, а нижняя грань функции <math>|df(x)|</math> равна нулю, существует критическая точка функции <math>f</math>.
Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.
В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра
