Русская Википедия:Функция Мёбиуса
Функция Мёбиуса <math>\mu(n)</math> — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.
Определение
<math>\mu(n)</math> определена для всех натуральных чисел <math>n</math> и принимает значения <math>{-1,\;0,\;1}</math> в зависимости от характера разложения числа <math>n</math> на простые сомножители:
- <math>\mu(n)=1</math>, если <math>n</math> свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение <math>n</math> на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
- <math>\mu(n)=-1</math>, если <math>n</math> свободно от квадратов и разложение <math>n</math> на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
- <math>\mu(n)=0</math>, если <math>n</math> не свободно от квадратов.
По определению также полагают <math>\mu(1)=1</math>.
У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:
Шаблон:Начало цитатыФункция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: <math>\mu\,(p)=-1,\; \mu\,(p^{\alpha})=0,\;\text{если}\;\alpha>1.</math> Шаблон:Конец цитаты
Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.
Свойства и приложения
- Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел <math>a</math> и <math>b</math> выполняется равенство <math>\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)</math>.
- Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа <math>n</math>, не равного единице, равна нулю
- <math>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</math>
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
- <math>\sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.</math>
- <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0,</math> где n — положительное целое число.
- <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.</math>
- <math>\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\mu(2k+1)\ln (2k+1)}{2k+1}=-2.</math>
- <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln^{2} k}{k}=-2\gamma,</math> где <math>\gamma</math> — это постоянная Эйлера.
- <math>\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\mu(2k+1)\ln^{2} (2k+1)}{2k+1} = -4(\gamma+ln2).</math>
- Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:
- <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}</math>.
Ряд абсолютно сходится при <math>{\rm Re}\, s >1</math>, на прямой <math>{\rm Re}\, s = 1</math> сходится условно, в области <math>1/2 < {\rm Re}\, s < 1</math> утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при <math>{\rm Re}\, s < 1/2</math> ряд заведомо не сходится, даже условно.
При <math>{\rm Re}\, s >1</math> справедлива также формула:
- <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}</math>
- <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(p n)}{n^{s}} = \frac{p^{s}}{(1-p^{s}) \zeta(s)}, </math> где p — простое число.
- Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана
- <math>M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).</math>
- Справедливы асимптотические соотношения:
- <math>\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} \mu(n) = o(1)</math> при <math>x\rightarrow \infty</math>
- <math>\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) </math>,
из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна <math>1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729</math>, а плотность множества единиц (или минус единиц) <math>1/2\zeta(2) = 0,30396355</math>. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций <math>f</math> и <math>g</math>,
- <math>g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)</math>
тогда и только тогда, когда
- <math>f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g \left (\frac{n}{d} \right )</math>.
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math>, определённых при <math>x\geqslant 1</math>,
- <math> g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)</math>
тогда и только тогда, когда
- <math>f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)</math>.
Здесь сумма <math>\sum_{n\leqslant x}</math> интерпретируется как <math>\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}</math>.
Обобщённая функция Мёбиуса
Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.
Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения <math>\prec</math>. Будем считать, что <math>a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b</math>.
Определение
Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.
- <math>{\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & a \not\preccurlyeq b\end{cases}</math>
Формула обращения
Пусть функции <math>g</math> и <math>f</math> принимают вещественные значения на множестве <math>A</math> и выполнено условие <math>g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}</math>.
Тогда <math>f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}</math>
Связь с классической функцией Мёбиуса
Если взять в качестве <math>A</math> множество натуральных чисел, приняв за отношение <math>a \prec b</math> отношение <math>a \mid b \land a \not = b</math>, то получим <math>{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)</math>, где <math>\mu</math> - классическая функция Мёбиуса.
Это, в частности, означает, что <math>\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)</math>, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества <math>\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0</math>, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.
См. также
Литература
Ссылки
- Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
- Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
- Обобщённая формула обращения Мёбиуса
