Русская Википедия:Функция Радемахера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Rademacherfunktionen.png

Графики функций Радемахера с <math>\nu=1,2,3</math>

Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году. График функции представляет собой меандр.

Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:

<math>\operatorname{rad}_n(x)=\operatorname{sign}\left(\sin\left(2^{n}\pi x\right)\right)</math>

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве <math>L^2[0,1]</math>, поскольку:

<math>\int_0^1 \operatorname{rad}_n(x)\cdot\operatorname{rad}_m(x) \mathrm{d} x = \delta_{mn}</math>,

где <math>\delta_{mn}</math> — символ Кронекера.

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:

<math>\operatorname{wal}_\nu(x)=\operatorname{rad}_{\operatorname{lb}\nu}(x)</math>,

где <math>\operatorname{lb}\nu=\log_2\nu</math> — двоичный логарифм.

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара <math>\psi(x)</math>:

<math>\operatorname{rad}_\nu(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty\psi(2^\nu x+k)</math>

Ссылки

• Square Wave в WolframMathWorld
• Шаблон:Из