Русская Википедия:Функция Фаддеевой

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функция Фаддеевой — это комплексная функция ошибок от комплексного аргумента

<math>w(z):=e^{-z^2}\operatorname{erfc}(-iz) = \operatorname{erfcx}(-iz)

=e^{-z^2}\left(1+\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{t^2}\text{d}t\right).</math>

Функция Фаддеевой связана с функцией Доусона, профилем Фойгта, интегралом Френеля и появляется в различных физических задачах при описании электромагнитных взаимодействий в средах. Функция впервые была описана и затабулирована в статье В. Н. Фаддеевой и Н. М. Терентьева.

Cвойства

Действительная и мнимая части

Разложение на действительную и мнимую части обычно записывают как

<math>w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)</math>,

где V и L иногда называются действительной и мнимой функциями Фойгта, поскольку V(x, y) с точностью до фактора является профилем Фойгта. Если рассматривать V(x, y) как профиль поглощения спектральной линии, то L(x, y) является соответствующей ей дисперсионной кривой.

Чётность

При изменении знака аргумента, функция Фаддеевой может быть записана как

<math>w(-z)=2e^{-z^2} - w(z)</math>

или

<math>w(-z)=w(z^*)^*</math>,

где * означает комплексное сопряжение.

Интегральное представление

Функция Фаддеевой может быть представлена в виде

<math>w(z)=\frac{i}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- t^2}}{z - t} dt = \frac{2iz}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t^2}}{z^2 - t^2} dt, \qquad \operatorname{Im}z > 0</math>,

то есть как свёртка Гауссовой функции и комплексного лоренцевского профиля.

Литература

• Шаблон:Citation

Вычислительные ресурсы

• libcerf Численная библиотека на C для вычисления комплексных функций ошибок содержит в частности функцию w_of_z(z) (с точностью не хуже 13 знаков), которая также используется для вычислений многих других функций в библиотеке.