Русская Википедия:Функция Хаара

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функция Хаара — кусочно-постоянная функция. Определяется на интервале <math>\left [ 0, 1 \right )</math>. Последовательность функций Хаара образует ортогональную систему. Впервые была построена Альфредом Хааром. Любую функцию, интегрируемую по Лебегу на интервале <math>\left [ 0, 1 \right )</math>, можно разложить в ряд по функциям Хаара, аналогичный разложению в ряд Фурье: <math>f(x) \sim c_{0}\chi_{0}^{(0)}(x) + \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{2m} c_{m}^{(k)}\chi_{m}^{(k)}(x)</math>.

Определение

Две первые функции Хаара определены так:

<math>\chi_{0}^{(0)}(x) = 1</math>

<math>\chi_{0}^{(1)}(x) = \begin{cases}

 1,  x \in \left [ 0, \frac{1}{2} \right ) \\
 0,  x = \frac{1}{2} \\
-1, x \in \left ( \frac{1}{2}, 1 \right ]

\end{cases}</math>

Другие функции Хаара определены для всех натуральных <math>m \geqslant 1, 1 \leqslant k \leqslant 2^m </math>:

<math>\chi_{m}^{(k)}(x) = \begin{cases}

 \sqrt{2^m},  x \in \left ( \frac{k-1}{2^m}, \frac{k-\frac{1}{2}}{2^m} \right ) \\
 -\sqrt{2^m},  x \in \left ( \frac{k-\frac{1}{2}}{2^m}, \frac{k}{2^m} \right ) \\
0, x \in \left ( \frac{l-1}{2^m}, \frac{l}{2^m} \right ) 

\end{cases}</math>

Здесь: <math>l \neq k, 1 \leqslant l \leqslant 2^m</math>.

Свойства

• Совокупность функций Хаара является ортнормированной системойШаблон:Sfn.
• Для функции, интегрируемой по Лебегу, разложение Хаара сходится к этой функции почти всюду.
• Разложение Хаара для функции сходится к этой функции в каждой точке непрерывности этой функции и равномерно сходится на каждом интервале, на котором функция равномерно непрерывна.

Литература

• Шаблон:Книга