Русская Википедия:Функция Хевисайда

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Heaviside.svg
Единичная функция Хевисайда. При x = 0 доопределена значением 1.

Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных[1]. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениямШаблон:Переход, например:

<math>\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0;

\\ 1, & x\geqslant 0.\end{cases}</math> Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона:

<math>\theta(x)=[\,x\geqslant 0\,].</math>

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, <math>\theta'=\delta</math>, это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл [2]):

<math>\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\,dt.</math>

Дискретная форма

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента <math>n</math>:

<math>\theta[n]=\begin{cases}0, & n<0; \\ 1, & n\geqslant 0,\end{cases}</math>

где <math>n</math> — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

<math>\delta[n]=\theta[n]-\theta[n-1].</math>

Аналитические формы

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

<math>\theta(x)\approx\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{th}\,kx=\frac{1}{1+e^{-2kx}},</math>

где большему <math>k</math> соответствует более крутой подъём функции в точке <math>x=0</math>. Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда <math>\Delta{x}</math>, значение <math>k</math> можно оценить как <math>k\approx\frac{10}{\Delta{x}}</math>.

Если принять <math>\theta(0)=1/2</math>, уравнение можно записать в предельной форме:

<math>\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2}(1+\mathrm{th}\,kx)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.</math>

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

<math>\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\mathrm{arctg}\,kx\right);</math>
<math>\theta(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\mathrm{erf}\,kx\right).</math>

Запись

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

<math>\theta(x)=-\lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\,d\tau.</math>

Значение в нуле

Значение функции в нуле часто задаётся как <math>\theta(0)=0</math>, <math>\theta(0)=1/2</math> или <math>\theta(0)=1</math>. <math>\theta(0)=1/2</math> — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

<math>\theta(x)=\frac{1}{2}(1+\sgn x)=\begin{cases} 0, & x<0;

\\ \dfrac{1}{2}, & x=0; \\ 1, & x>0.\end{cases}</math> что с учетом определения функции знака можно выразить как

<math>\theta(x)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{|x|}{x}\right)=\frac{x+|x|}{2x}</math>

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

<math>\theta_n(x)=\begin{cases}0, & x<0;

\\ n, & x=0; \\ 1, & x>0.\end{cases}</math>

Преобразование Фурье

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

<math>\theta(x)=\int\limits_{-\infty}^x\delta(t)\,dt</math>.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции <math>\theta(t)</math>, получим её изображение вида:

<math>\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),</math>

то есть:

<math>\theta(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2\pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right)e^{i\omega t}\,d\omega</math>

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

Другие свойства

Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что <math>f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)</math>, то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной <math>f(x)</math>.

<math>\left[f(x)\theta(x)\right]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(0)\delta^{(n-k-1)}(x)+f^{(n)}(x)\theta(x)</math>

Шаблон:Hider

История

Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Шаблон:Iw в 1830-х годах опубликовал несколько работ[3][4], посвящённых функции <math>0^{0^x}</math>. По его мнению, <math>0^x</math> равен <math>0</math>, если <math>x>0</math>; <math>1</math>, если <math>x=0</math> (см. Ноль в нулевой степени); или <math>\infin</math>, если <math>x<0</math>. Таким образом Либри заключает, что <math>0^{0^x}</math> равняется 1, если <math>x>0</math>, и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как

<math>0^{0^x}=[\,x>0\,].</math>

Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения <math>|x|</math> тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как <math>a\leq x \leq b</math>, и даже «<math>x</math> является делителем <math>y</math>»[5].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ В теории автоматического управления и теории операторов Лапласа часто обозначается как <math>\scriptstyle{\eta(x)}</math>. В англоязычной литературе часто обозначают <math>\scriptstyle{H(x)}</math> или <math>\scriptstyle{1(x)}</math>. См., например,
    • Шаблон:Книга;
    • Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 656 с. — ISBN 5-7038-2189-4 (Т. 1).
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  4. ↑ Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
  5. ↑ Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO] Шаблон:Wayback).
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Функция_Хевисайда&oldid=11214403