Русская Википедия:Функция Эйри

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Airy Functions.svg
График функций Шаблон:Big (красный цвет) и Шаблон:Big (синий цвет)

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

<math>y - xy \,=\, 0\,,</math>

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри)[1]. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода <math>\operatorname{Ai}\,(x)</math> (которая при <math>x \rightarrow -\infty</math> имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при <math>x \rightarrow +\infty</math> монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода <math>\operatorname{Bi}\,(x)</math> (которая при <math>x \rightarrow -\infty</math> также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при <math>x \rightarrow +\infty</math> монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функцийШаблон:Sfn. Обозначение Шаблон:Big для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (Шаблон:Lang-en)[2]. В 1946 году Шаблон:Нп5 добавил обозначение Шаблон:Big для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным[3].

В. А. Фок предложил для обозначения функций Шаблон:Big и Шаблон:Big символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение

Для действительных <math>x</math> функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом[1]:

<math>\operatorname{Ai}\,(x) \,=\, \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty\!\cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt\,,</math>
Файл:Airy function.png
Контуры интегрирования при вычислении Шаблон:Big

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

<math>y - xy \,=\, 0\,. </math>

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода <math>\operatorname{Bi}\,(x),</math> у которой при <math>x \rightarrow -\infty</math> колебания имеют ту же амплитуду, что и у <math>\operatorname{Ai}\,(x),</math> но отличаются по фазе на <math>\pi/2</math>Шаблон:Sfn. Для действительных <math>x</math> функция Эйри 2-го рода выражается интегралом[3]:

<math>\operatorname{Bi}\,(x) \,=\, \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]\, dt\,.</math>

Для комплексных <math>z</math> функция Эйри <math>\operatorname{Ai}\,(z)</math> определяется следующим образом:

<math>\operatorname{Ai}\,(z) \,=\, \int\limits_{\gamma_1}\!\exp \left(pz - \frac{p^3}{3}\right)\,dp\,,</math>

где контур <math> \gamma_1 

</math> представлен на рисункеШаблон:Sfn. Контуры <math> \gamma_2 </math> и <math> \gamma_3
</math> также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция <math>\operatorname{Bi}\,(z)</math> при произвольном комплексном <math>z</math> связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением[1]:

<math>\operatorname{Bi}\,(z) \,=\, i\omega^2\,\operatorname{Ai}\,(\omega^2 z)- i\omega\,\operatorname{Ai}\,(\omega z)\,, \quad \omega = e^{2\pi{i/3}}\,. </math>

Свойства

В точке <math>x=0</math> функции <math>\operatorname{Ai}\,(x)</math> и <math>\operatorname{Bi}\,(x)</math> и их первые производные имеют такие значения:

<math>\begin{align}
\operatorname{Ai}\,(0) \,=\, \frac{1}{3^{2/3}\,\Gamma\left(\frac23\right)} \,\approx\, 0,355\,028\,053\,887\,817\,, & \quad \operatorname{Ai}'\,(0) \,=\, -\frac{1}{3^{1/3}\,\Gamma\left(\frac13\right)}\,\approx\, -0,258\,819\,403\,792\,807\,, \\
\operatorname{Bi}\,(0) \,=\, \frac{1}{3^{1/6}\,\Gamma\left(\frac23\right)} \,=\, \operatorname{Ai}\,(0)\,\sqrt{3}\,, & \quad \operatorname{Bi}'\,(0) \,=\, \frac{3^{1/6}}{\Gamma\left(\frac13\right)} \,=\, -\operatorname{Ai}'\,(0)\,\sqrt{3}\,.

\end{align} </math> где <math>\Gamma</math> — гамма-функцияШаблон:Sfn. Отсюда следует, что при <math>x=0</math> вронскиан функций <math>\operatorname{Ai}\,(x)</math> и <math>\operatorname{Bi}\,(x)</math> равен <math>1/\pi</math>.

При положительных <math>x</math> <math>\operatorname{Ai}\,(x)</math> — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а <math>\operatorname{Bi}\,(x)</math> — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных <math>x</math> <math>\operatorname{Ai}\,(x)</math> и <math>\operatorname{Bi}\,(x)</math> колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения

При <math>x,</math> стремящемся к <math>+\infty</math>Шаблон:Sfn:

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}\,(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}\,(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.

\end{align} </math>

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}\,(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}\,(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.

\end{align} </math>

Комплексный аргумент

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

<math>\mathrm{Ai}\,(z) \,=\, \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt\,,</math>

где интеграл берётся по контуру <math>C,</math> начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом <math>-\dfrac{\pi}{3}</math> и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом <math>\dfrac{\pi}{3}</math>. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение <math>y - xy = 0</math> для продолжения <math>\mathrm{Ai}\,(x)</math> и <math>\mathrm{Bi}\,(x)</math> до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для <math>\mathrm{Ai}\,(x)</math> остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение <math>x^{2/3}</math> и <math>x</math> не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для <math>\mathrm{Bi}\,(x)</math> верна, если Шаблон:Big лежит в секторе <math>\left\{x\in\mathbb{C}\,:\,|\text{arg}\,x| < \frac{\pi - \delta}{3} \right\}</math> для некоторого положительного Шаблон:Big. Формулы для <math>\mathrm{Ai}\,(-x)</math> и <math>\mathrm{Bi}\,(-x)</math> верны, если Шаблон:Big лежит в секторе <math>\left\{x\in\mathbb{C}\,:\,|\text{arg}\,x| < \frac{2(\pi - \delta)}{3} \right\}</math>.

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции <math>\mathrm{Ai}\,(x)</math> на комплексной плоскости нет других нулей, а функция <math>\mathrm{Bi}\,(x)</math> имеет бесконечно много нулей в секторе <math>\left\{z\in\mathbb{C}\, : \,\frac{\pi}{3} < |\text{arg}\, z| < \frac{\pi}{2} \right\}</math>.

Связь с другими специальными функциями

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}\,(x) \,=\, \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\,, \\
\mathrm{Bi}\,(x) \,=\, \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,.

\end{align} </math> где Шаблон:Big и Шаблон:Big — решения уравнения <math>x^2y + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0</math>.

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}\,(-x) \,=\, \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,, \\
\mathrm{Bi}\,(-x) \,=\, \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,. \end{align}

</math> где Шаблон:Big — решения уравнения <math>x^2y + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0</math>.

Функции Скорера являются решениями уравнения <math>y - xy = 1/\pi.</math> Они также могут быть выражены через функции Эйри:

<math>\begin{align}
\mathrm{Gi}\,(x) \,=\, \mathrm{Bi}(x) \int\limits_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int\limits_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt\,, \\
\mathrm{Hi}\,(x) \,=\, \mathrm{Bi}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt\,. \end{align}

</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Шаблон:Книга Шаблон:Wayback — 1248 стб. — Стб. 939—941.
  2. ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback — P. 4.
  3. ↑ 3,0 3,1 Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Функция_Эйри&oldid=11214409