Русская Википедия:Функция распределения (статистическая физика)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Не путатьШаблон:Статистическая физика Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами <math> q_{i} </math> и импульсами <math> p_{i}</math> её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин <math>q \equiv \left\{ q_{i} \right\} </math> и <math>p \equiv \left\{ p_{i} \right\} </math> образуют фазовое пространство.

Полная функция статистического распределения

Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства <math>\mathrm{d}q\, \mathrm{d}p \equiv\prod\limits_{i} \mathrm{d}q_{i} \, \mathrm{d}p_{i}</math>, с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

<math>\mathrm{d}\omega = \rho\!\left(t,q,p\right) \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p \qquad (1)</math>

Функцию <math>\rho\!\left(t,q,p\right)</math> называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция <math>\rho\!\left(t,q,p\right)</math> удовлетворяет условию нормировки:

<math> \int { \rho\!\left(t,q,p\right)\,\mathrm{d}q\, \mathrm{d}p} = 1, \qquad (2) </math>

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными <math> {q}^{(0)} \equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\}</math> и <math> {p}^{(0)} \equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\}</math>, и тогда

<math>\rho\!\left(q,p\right)=\delta\!\left(q-q^{(0)}\right)\,\delta\!\left(p-p^{(0)}\right), </math>

где <math>\delta\!\left(q-q^{(0)}\right)\delta\!\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod\limits_{i}\delta\!\left(q_i-{q_i}^{(0)}\right)\delta\!\left(p_i-{p_i}^{(0)}\right)</math> (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция <math> \rho \!\left(t,q,p\right)</math> позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины <math> F\!\left(t,q,p\right)</math> — функции фазовых переменных q и p:

<math> \left\langle\hat{F}\right\rangle=\int { \hat{F}\, \hat{\rho} \, \mathrm{d}q\, \mathrm{d}p },</math>

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

<math> \rho\!\left(t,q,p\right)=\prod\limits_{n}\rho^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)</math>

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций <math>\rho^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)</math> можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция <math>\rho </math>. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения <math>\rho \!\left(t,q,p\right)</math> равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ <math>N_A</math>, где <math>N_A</math> — число Авогадро).

Неполное описание

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин <math>\hat{A}\equiv\left\{\hat{A}_m\right\}</math>. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей <math>\rho\! \left(A\right)</math> значений <math>A</math> дается равенством

<math> \rho\!\left(A\right)=\int {\mathrm{d}q\,\mathrm{d}p\,\delta\!\left(A-\hat{A}\right)\rho\!\left(q,p\right)},</math>

где <math>\delta\!\left(A-\hat{A}\right)\equiv \prod\limits_{m}\delta\!\left(A_m-\hat{A}_m\right)</math>. Функция распределения <math> \rho\!\left(A\right)</math> может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин <math>\hat{f}\equiv f\!\left(\hat{A}\right) </math> , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через <math>\hat{A}</math> . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

<math> \left\langle\hat{f}\right\rangle=\int {\mathrm{d}A\, f\!\left(A\right)\,\rho\!\left(A\right)},</math>

где <math>\mathrm{d}A \equiv \prod\limits_{m}\mathrm{d}A_m </math> и интегрирование ведется по всем возможным значениям <math>A</math>. Конечно, средние значения <math>\left\langle\hat{f}\right\rangle</math> величин <math>\hat{f}</math> можно было бы найти с помощью полной функции распределения <math>\rho\!\left(t,q,p\right)</math>, если бы она была известна. Для функции <math>\rho\!\left(A\right)</math> так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

<math>\int{\mathrm{d}A\,\rho\!\left(A\right)}=1</math>

Описание системы с помощью функции <math>\rho\!\left(A\right)</math> называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

<math>\frac {\partial\hat{\rho}\!\left(t\right)}{\partial t}+i\,L_t\,\hat{\rho}\!\left(t\right) = 0,\qquad (4)</math>

где <math>L_t</math> — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

<math>L_t \, \cdot \equiv-i\left\{\hat{H}_t, \cdot \right\}\equiv-i\sum\limits_{j}\left(\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial q_j}-\frac{\partial\hat{H}_t}{\partial q_j}\frac{\partial}{\partial p_j}\right)</math>,

<math>\hat{H}_t</math> — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (<math>L_t=L</math>), решение уравнения (4) имеет вид

<math>\hat{\rho}\!\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho}\!\left(0\right)\qquad (5)</math>

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции <math>\hat{\psi}^{(n)}</math> и собственные значения <math>L^{(n)}</math> оператора <math>L</math>.

Пользуясь полнотой и ортонормированностью <math>\hat{\psi}^{(n)}</math>, напишем:

<math>\hat{\rho}\!\left(0\right)=\sum\limits_{n}c_n\hat{\psi}^{(n)}</math>,

где <math>c_n=\left(\hat{\psi}^{(n)},\hat{\rho}\!\left(0\right)\right)</math> (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

<math>\hat{\rho}\!\left(t\right)=\sum\limits_{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}} c_n\,\hat{\psi}^{(n)}</math>

См. также

Литература

Шаблон:Вс

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Функция_распределения_(статистическая_физика)&oldid=11214442