Русская Википедия:Характеристика (алгебра)
Шаблон:Другие значения Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.
Для кольца <math>R</math> характеристикой <math>\mathop{\mathrm{char}} R</math> называется наименьшее целое <math>n>0</math> такое, что для каждого элемента <math>r \in R</math> выполняется равенство:
- <math>n\cdot r = \underbrace{r+\cdots+r}_n = 0</math>,
а если такого числа не существует, то предполагается <math>\mathop{\mathrm{char}} R = 0</math>.
При наличии единицы в кольце <math>R</math> характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число <math>n</math> такое, что <math>n\cdot 1=0</math>, если же такого <math>n</math> не существует, то характеристика равна нулю.
Характеристики кольца целых чисел <math>\Z</math>, поля рациональных чисел <math>\Q</math>, поля вещественных чисел <math>\R</math>, поля комплексных чисел <math>\C</math> равны нулю. Характеристика кольца вычетов <math>\Z/n\Z</math> равна <math>n</math>. Характеристика конечного поля <math>\mathbb{F}_{p^m}</math>, где <math>p</math> — простое число, <math>m</math> — положительное целое, равна <math>p</math>.
Тривиальное кольцо с единственным элементом <math>0=1</math> — единственное кольцо с характеристикой <math>1</math>.
Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику <math>n</math>, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля <math>K</math> есть либо <math>0</math>, либо простое число <math>p</math>. В первом случае поле <math>K</math> содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, во втором случае поле <math>K</math> содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов <math>\mathbb{F}_p</math>. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в <math>K</math>).
Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в <math>\mathbb{F}_p</math> и алгебраическое замыкание поля <math>\mathbb{F}_p</math>.
Если <math>R</math> — коммутативное кольцо простой характеристики <math>p</math>, то <math>(a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}</math> для всех <math>a, b \in R</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.
Литература
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
