Русская Википедия:Характеристический многочлен матрицы

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы <math>A</math>, <math>\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)</math>, где <math>E</math> — единичная матрица, является многочленом от <math>\lambda</math>, который называется характеристическим многочленом матрицы <math>A</math> (иногда также «вековым уравнением» (Шаблон:Lang-en)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение <math>Av=\lambda v</math> имеет ненулевое решение, то <math>(A-\lambda E)v=0</math>, значит матрица <math>A-\lambda E</math> вырождена и её определитель <math>\det(A-\lambda E)=\chi(\lambda)</math> равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу <math>A-\lambda E</math> называют характеристической матрицей матрицы <math>A</math>.
• Уравнение <math>\chi(\lambda)=0</math> называют характеристическим уравнением матрицы <math>A</math>.
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Свойства

• Для матрицы <math>n\times n</math> характеристический многочлен имеет степень <math>n</math>.
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если <math>\chi(\lambda)</math> — характеристический многочлен матрицы <math>A</math>, то <math>\chi(A)=0</math>.
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: <math>\chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B}</math>.
• Характеристический многочлен обратной матрицы: <math>\chi_{A^{-1}}(\lambda)=\frac{(-\lambda)^{n}}{\det A}\chi_{A}(1/\lambda)</math>.

Доказательство:

<math>\begin{aligned} {\det A}\cdot\chi_{A^{-1}}(\lambda) &= {\det A}\cdot\det(A^{-1}-\lambda E) = \det(A(A^{-1}-\lambda E)) \\

&= \det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda A-E) \\
&= (-\lambda)^{n}\det(A-(1/\lambda)E)=(-\lambda)^{n}\chi_{A}(1/\lambda)

\end{aligned} </math>

• Если <math>A</math> и <math>B</math> — две матрицы <math>n\times n</math>, то <math>\chi_{AB}\,=\,\chi_{BA}</math>. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения <math>\mathrm{tr}\,(AB) = \mathrm{tr}\,(BA)</math> и <math>\det (AB) = \det (BA)</math>.
• В более общем виде, если <math>A</math> — матрица <math>m\times n</math>, а <math>B</math> — матрица <math>n\times m</math>, причем <math>m<n</math>, так, что <math>AB</math> и <math>BA</math> — квадратные матрицы размеров <math>m</math> и <math>n</math> соответственно, то:

<math>\chi_{BA}(\lambda)\,=\,\lambda^{n-m}\,\chi_{AB}(\lambda)</math>.

Ссылки

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback