Русская Википедия:Характер группы
Шаблон:Другие значения Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если <math>G</math> — группа, то характер — это гомоморфизм из <math>G</math> в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).
Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в <math>U(1)</math>. Все прочие гомоморфизмы в <math>k^*</math> называются в таком случае квазихарактерами.
Связанные определения
- Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в <math>k^*.</math>
- Характер представления группы — близкое определение для представлений групп, элемент отображается в след своего представления.
Свойства
- Для произвольной группы <math>G</math> множество характеров <math>\mathrm{Ch}(G)</math> образует абелеву группу с операцией
- <math>\chi_a\cdot\chi_b=\chi_{ab}.</math>
- Эту группу называют группой характеров.
- Характеры линейно независимы, то есть если <math>\chi_1,\chi_2, \ldots , \chi_n </math> — различные характеры группы G, то из равенства <math>a_1\chi_1+a_2\chi_2 + \cdots + a_n \chi_n = 0 </math> следует, что <math>a_1=a_2=\cdots=a_n=0.</math>
Характеры в U(1)
Важным частным случаем характеров являются отображения в группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Такие характеры имеют вид <math>\chi(a) = e^{2 \pi \varphi(a) i}</math>, где <math>\varphi:G \to {\mathbb R},\ \forall a, b \in (G, \circ):\ \varphi(a) + \varphi(b) = \varphi(a \circ b)</math>, и широко изучаются[1][2][3][4] в теории чисел в связи с распределением простых чисел в бесконечных арифметических прогрессиях. В этом случае изучаемой группой является кольцо вычетов <math>{\mathbb Z}_n</math> с операцией сложения, а функция <math>\varphi</math> линейна. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции <math>\varphi</math> определяет группу характеров, изоморфную группе <math>{\mathbb Z}_n</math>.
Классическим примером использования характеров по модулю является теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Для бесконечных циклических групп, изоморфных <math>{\mathbb Z}</math>, будет существовать бесконечное множество характеров вида <math>{\chi_{\alpha}} (n) = e^{2 \pi n \alpha i}</math>, где <math>\alpha \in (0;1)</math>.
Характеры конечнопорождённых групп
Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы <math>(G, \circ)</math> также можно[5] явно и конструктивно описать множество характеров в <math>U(1)</math>. Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.
Поскольку любая циклическая группа порядка <math>h</math> изоморфна группе <math>{\mathbb Z}_h</math> и её характеры в <math>U(1)</math> всегда отображаются во множество <math>\left\lbrace{e^{2 \pi \frac{k}{h} i}:\ k=0, \dots, h-1}\right\rbrace</math>, то для группы, представленной прямым произведением <math>G = G_1 \otimes \dots \otimes G_s</math>, циклических групп <math>G_i = \left\lbrace{{g_i}^{k}\ :\ 0 \le k < n_i}\right\rbrace</math>, можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:
- <math>\chi_{k_1, \dots, k_s} (x) = e^{2 \pi \frac{k_1}{n_1}} \cdot e^{2 \pi \frac{k_s}{n_s}} = e^{2 \pi (\frac{k_1}{n_1} + \dots + \frac{k_s}{n_s})}, 0 \le k_i < n_i</math>
Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой <math>G</math> и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.
- <math>{g_1}^{k_1} \circ \dots \circ {g_s}^{k_s} \mapsto \chi_{k_1, \dots, k_s}</math>
Свойства характеров конечных групп
Для <math>g \in G</math> обозначим через <math>\chi_g : G \to U(1)</math> характер, соответствующий элементу <math>g</math> по описанной выше схеме.
Справедливы[6] следующие тождества:
- <math>\sum \limits_{g \in G} {\chi (g)} = \left\lbrace{ \begin{matrix} 0, & \chi \not = \chi_0 \\ |G|, & \chi = \chi_0 \end{matrix} }\right.</math>
- <math>\sum \limits_{x \in G} {\chi_g (x)} = \left\lbrace{ \begin{matrix} 0, & x \not = 0 \\ |G|, & x = 0 \end{matrix} }\right.</math>
Вариации и обобщения
Если <math>A</math> — ассоциативная алгебра над полем <math>k</math>, характер <math>A</math> — это ненулевой гомоморфизм алгебры <math>A</math> в <math>k</math>. Если при этом <math>A</math> — звёздная алгебра,Шаблон:Уточнить то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Характеры Шаблон:Теория групп
- ↑ А. О. Гельфонд, Ю. В. Линник, Элементарные методы в аналитической теории чисел, М:Физматгиз, 1962 г., с. 61-66, 78-97
- ↑ К. Чандрасекхаран, Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 142-165
- ↑ Г. Дэвенпорт, Мультипликативная теория чисел, М:Наука, 1971 г., с. 44-64
- ↑ А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, М:Наука, 1983 г., с. 114-157
- ↑ К. Чандрасекхаран, Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 145-147
- ↑ К. Чандрасекхаран, Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 147-159
