Русская Википедия:Характер (теория чисел)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из Шаблон:Не переведено 5 характеров на обратимых элементах <math> \mathbb Z / k \mathbb Z </math>. Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если <math>\chi</math> является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}</math>

где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определение

Характер Дирихле — это любая функция <math>\chi</math> на множестве целых чисел <math>\Z</math> с комплексными значениями, имеющая следующие свойстваШаблон:Sfn:

  1. Существует положительное целое число k, такое что <math>\chi(n) = \chi(n + k)</math> для любых n.
  2. Если n и k не взаимно просты, то <math>\chi(n) = 0</math>; если же они взаимно просты, <math>\chi(n) \ne 0</math>.
  3. <math>\chi(mn) = \chi(m)\chi(n) </math> для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) <math>\chi(1) = \chi (1 \times 1)= \chi (1)\chi (1)</math>. Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что <math>\chi(1) \ne 0</math>, так что

  1. <math>\chi(1) = 1</math>.

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле <math>\chi</math> является Шаблон:Не переведено 5 характером.

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что <math>\chi</math> является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что

  1. если <math>a \equiv b \pmod k</math>, то <math>\chi(a) = \chi(b)</math>.

Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что <math>a^{\varphi(k)} \equiv 1 \pmod k</math> (где <math>\varphi(k)</math> является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), <math>\chi(a^{\varphi(k)}) = \chi(1) = 1</math>, а по свойству 3) <math>\chi(a^{\varphi(k)}) =\chi(a)^{\varphi(k)}</math>. Следовательно,

  1. Для всех a, взаимно простых с k, <math>\chi(a)</math> является <math>\varphi(k)</math>-ым комплексным корнем из единицы,

то есть <math>e^{2ri\pi/\varphi(k)}</math> для некоторого целого <math>0 \leqslant r < \varphi(k)</math>.

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

  • Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с <math>k</math>, называется главным:
    <math>\chi_0(n)=\left\{\begin{array}{ll}1,&\text{НОД}(n,\;k)=1;\\0,&\text{НОД}(n,\;k)\neq 1.\end{array}\right.</math>Шаблон:Sfn.
    • В группе характеров по модулю <math>k</math> он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплекснымШаблон:Sfn

Знак характера <math>\chi</math> зависит от его значения в точке −1. Говорят, что <math>\chi</math> нечётный, если <math>\chi(-1) = -1</math>, и чётный, если <math>\chi(-1) = 1</math>.

Построение через классы вычетов

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах Шаблон:Не переведено 5 группы обратимых элементов кольца <math>\Z/k\Z</math> как расширенные характеры классов вычетовШаблон:Sfn.

Классы вычетов

Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: <math>\hat{n}=\{m \mid m \equiv n \pmod k \}.</math> То есть класс вычетов <math>\hat{n}</math> является классом смежности n в факторкольце <math>\Z/k\Z</math>.

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка <math>\varphi(k)</math>, где умножение в группе задаётся равенством <math>\widehat{mn}=\hat{m}\hat{n}</math>, а <math>\varphi</math> снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов <math>\hat{1}</math>, а обратным элементом для <math>\hat{m}</math> является класс вычетов <math>\hat{n}</math>, где <math>\hat{m} \hat{n} = \hat{1}</math>, то есть <math>m n \equiv 1 \pmod k</math>. Например, для k=6 множеством обратимых элементов является <math>\{\hat{1}, \hat{5}\}</math>, поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров <math>(\Z/k)^*</math> состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов <math>\theta</math> на <math>(\Z/k)^*</math> примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что <math>\theta</math> факторизуются как <math>(\Z/k)^* \to (\Z/d)^* \to \Complex^*</math>Шаблон:Sfn.

Характеры Дирихле

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен Шаблон:Не переведено 5 группы обратимых элементов по модулю kШаблон:Sfn: группа гомоморфизмов <math>\chi</math> из <math>(\Z/k)^*</math> в ненулевые комплексные числа

<math> \chi : (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^* \to \mathbb{C}^* </math>,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов <math>\chi</math> на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем Шаблон:Не переведено 5 до Шаблон:Не переведено 5 функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером ДирихлеШаблон:Sfn.

Главный характер <math>\chi_1</math> по модулю k имеет свойства Шаблон:Sfn

<math>\chi_1(n)=1</math> при НОД(n, k) = 1 и
<math>\chi_1(n)=0</math> при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе <math>(\Z/k)^*</math> является главным характером, который всегда принимает значение 1Шаблон:Sfn.

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется <math>\varphi(n)</math> характеров Дирихле по модулю nШаблон:Sfn.

Примеры

  • Для любого нечётного модуля <math>k</math> символ Якоби <math>\left(\frac{n}{k}\right)</math> является характером по модулю <math>k</math>.
  • Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры <math>\chi_1</math> являются главными характерами.

По модулю 1

Существует <math>\varphi(1)=1</math> характер по модулю 1:

<math>\chi \setminus n</math>   0  
<math>\chi_1(n)</math> 1

Это тривиальный характер.

По модулю 2

Существует <math>\varphi(2)=1</math> характер по модулю 2:

<math>\chi \setminus n</math>   0     1  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(1)</math>, поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3

Есть <math>\varphi(3)=2</math> характера по модулю 3:

<math>\chi\setminus n</math>   0     1     2  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(2)</math>, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4

Существует <math>\varphi(4)=2</math> характера по модулю 4:

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 0 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 0 −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(3)</math>, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для <math>\chi_1(n)</math> равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

<math>L(\chi_1, s)= (1-2^{-s})\zeta(s)</math>,

где <math>\zeta(s)</math> является дзета-функцией Римана. L-ряд для <math>\chi_2(n)</math> является бета-функцией Дирихле

<math>L(\chi_2, s)=\beta(s).\, </math>

По модулю 5

Существует <math>\varphi(5)=4</math> характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из <math>-1</math>.

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3     4  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 1 1 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 i −i −1
<math>\chi_3(n)</math> 0 1 −1 −1 1
<math>\chi_4(n)</math> 0 1 −i i −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значение <math>\chi(2)</math>, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6

Существует <math>\varphi(6)=2</math> характеров по модулю 6:

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3     4     5  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 0 0 0 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 0 0 0 −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением<math>\chi(5)</math>, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7

Существует <math>\varphi(7)=6</math> характеров по модулю 7. В таблице ниже <math>\omega = \exp( \pi i /3).</math>

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3     4     5     6  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 1 1 1 1 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 <math>\omega^2</math> <math>\omega</math> <math>-\omega</math> <math>-\omega^2</math> −1
<math>\chi_3(n)</math> 0 1 −<math>\omega</math> <math>\omega^2</math> <math>\omega^2</math> <math>-\omega</math> 1
<math>\chi_4(n)</math> 0 1 1 −1 1 −1 −1
<math>\chi_5(n)</math> 0 1 <math>\omega^2</math> <math>-\omega</math> <math>-\omega</math> <math>\omega^2</math> 1
<math>\chi_6(n)</math> 0 1 <math>-\omega</math> <math>-\omega^2</math> <math>\omega^2</math> <math>\omega</math> −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(3)</math>, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8

Существует <math>\varphi(8)=4</math> характеров по модулю 8.

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3     4     5     6     7  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 0 1 0 1 0 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 0 1 0 −1 0 −1
<math>\chi_3(n)</math> 0 1 0 −1 0 1 0 −1
<math>\chi_4(n)</math> 0 1 0 −1 0 −1 0 1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значениями <math>\chi(3)</math> и <math>\chi(5)</math>, поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9

Существует <math>\varphi(9)=6</math> характеров по модулю 9. В таблице ниже <math>\omega = \exp( \pi i /3).</math>

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3     4     5     6     7     8  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 1 0 1 1 0 1 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 <math>\omega</math> 0 <math>\omega^2</math> <math>-\omega^2</math> 0 <math>-\omega</math> −1
<math>\chi_3(n)</math> 0 1 <math>\omega^2</math> 0 <math>-\omega</math> <math>\omega</math> 0 <math>\omega^2</math> 1
<math>\chi_4(n)</math> 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1
<math>\chi_5(n)</math> 0 1 <math>-\omega</math> 0 <math>\omega^2</math> <math>\omega^2</math> 0 <math>-\omega</math> 1
<math>\chi_6(n)</math> 0 1 <math>-\omega^2</math> 0 <math>-\omega</math> <math>\omega</math> 0 <math>\omega^2</math> −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением<math>\chi(2)</math>, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10

Существует <math>\varphi(10)=4</math> характеров по модулю 10.

<math>\chi \setminus n</math>   0     1     2     3     4     5     6     7     8     9  
<math>\chi_1(n)</math> 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
<math>\chi_2(n)</math> 0 1 0 i 0 0 0 −i 0 −1
<math>\chi_3(n)</math> 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1
<math>\chi_4(n)</math> 0 1 0 −i 0 0 0 i 0 −1

Заметим, что <math>\chi</math> полностью определяется значением <math>\chi(3)</math>, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Примеры

Если p является нечётным простым числом, то функция

<math>\chi(n) = \left(\frac{n}{p}\right),\ </math> где <math>\left(\frac{n}{p}\right)</math> является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю pШаблон:Sfn.

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

<math>\chi(n) = \left(\frac{n}{m}\right),\ </math> где <math>\left(\frac{n}{m}\right)</math> является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю mШаблон:Sfn.

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — ЯкобиШаблон:Sfn.

Примитивные характеры и кондуктор

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если <math>\chi*</math> является характером по модулю M, он индуцирует характер <math>\chi*</math> по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулюШаблон:Sfn.

Если <math>\chi</math> – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для <math>\chi</math>, если <math>\chi(a)=1</math> для всех a, взаимно простых с n и 1 mod dШаблон:Sfn: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуляШаблон:Sfn.

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров <math>\chi_1 \mod N_1</math> и <math>\chi_2 \mod N_2</math> как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем <math>\chi_1(n) = \chi_2(n)</math> для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер <math>\chi*</math>, порождённый как <math>\chi_1</math>, так и <math>\chi_2</math>. Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию Шаблон:Не переведено 5 в их L-функциях.

Ортогональность характеров

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры ДирихлеШаблон:Sfn.

Если мы зафиксируем характер <math>\chi</math> по модулю n, то

<math>\sum_{a \bmod n} \chi(a) = 0 </math>,

если <math>\chi</math> не главный характер, иначе сумма равна <math>\varphi(n)</math>.

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт

<math> \sum_{\chi} \chi(a) = 0 </math>,

кроме случая a=1, когда сумма равна <math>\varphi(n)</math>.

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров ДирихлеШаблон:Sfn.

История

Характеры Дирихле вместе с их <math>L</math>-рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для <math>s\in\mathbb{R}</math> и в основном когда <math>s</math> стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Литература

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.

Шаблон:Характеры

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Характер_(теория_чисел)&oldid=11230600