Русская Википедия:Хи-распределение
Шаблон:Вероятностное распределение Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормальных случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону <math>\chi^2</math>.
Если <math>Z_1, \ldots, Z_k</math> являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием (средним) и дисперсией равной 1, то статистика
- <math>Y = \sqrt{\sum_{i=1}^k Z_i^2}</math>
распределена по закону хи. Соответственно, если оценку среднеквадратического отклонения <math>s</math> разделить на <math> \mu_1/ \sqrt{n-1}</math>, где <math> \mu_1</math> — среднее хи-распределения, то получится несмещённая оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения. Хи-распределение имеет один параметр — <math>k</math>, который задаёт число степеней свободы (то eсть количество <math>Z_i</math>).
Самые известные примеры — распределение Рэлея (число степеней свободы равно двум) и статистика Максвелла — Больцмана (число степеней свободы — три).
Определение
Плотность вероятности
Плотность вероятности хи распределения равна
- <math>f(x;k) = \begin{cases}
\dfrac{x^{k-1}e^{-x^2/2}}{2^{k/2-1}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}, & x\geqslant 0; \\ 0, & x<0. \end{cases} </math>
где <math>\Gamma(z)</math> — гамма-функция.
Функция распределения
Функция распределения равна:
- <math>F(x;k)=P(k/2,x^2/2)\,</math>
где <math>P(k,x)</math> — регуляризованная гамма-функция.
Производящие функции
Производящая функция моментов равна:
- <math>M(t)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2}\right)+t\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)} M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}\right),</math>
где <math>M(a,b,z)</math> — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Характеристическая функция равна:
- <math>\varphi(t;k)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2}\right) + it\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)} M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2}\right).</math>
Свойства
Моменты
Моменты вычисляются по формуле:
- <math>\mu_j=2^{j/2}\frac{\Gamma((k+j)/2)}{\Gamma(k/2)}</math>
где <math>\Gamma(z)</math> — гамма-функция. Первые шесть моментов задаются по следующим формулам:
- <math>\mu_1=\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k\!+\!1)/2)}{\Gamma(k/2)}</math>
- <math>\mu_2=k\,</math>
- <math>\mu_3=2\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k\!+\!3)/2)}{\Gamma(k/2)}=(k+1)\mu_1</math>
- <math>\mu_4=k(k+2)\,</math>
- <math>\mu_5=4\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k\!+\!5)/2)}{\Gamma(k/2)}=(k+1)(k+3)\mu_1</math>
- <math>\mu_6=k(k+2)(k+4)\,</math>
где правые выражения получены, используя рекуррентное соотношение для гамма-функции:
- <math>\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\,</math>
Также из этих выражений можно получить следующие формулы:
Среднее: <math>\mu=\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}</math>
Дисперсия: <math>\sigma^2=k-\mu^2\,</math> — из выражений для первых двух моментов.
Коэффициент асимметрии: <math>\gamma_1=\frac{\mu}{\sigma^3}\,(1-2\sigma^2)</math>
Коэффициент эксцесса: <math>\gamma_2=\frac{2}{\sigma^2}(1-\mu\sigma\gamma_1-\sigma^2)</math>
Энтропия
Дифференциальная энтропия задаётся по формуле:
- <math>S=\ln(\Gamma(k/2))+\frac{1}{2}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi^0(k/2))</math>
где <math>\psi^0(z)</math> — полигамма-функция.
Связь с другими распределениями
- Если <math>X \sim \chi_k</math>, тогда <math>X^2 \sim \chi^2_k</math> (хи-квадрат-распределение)
- <math> \lim_{k \to \infty}\tfrac{\chi_k-\mu_k}{\sigma_k} \xrightarrow{d}\ N(0,1) \,</math> (нормальное распределение)
- Если <math> X \sim N(0,1)\,</math>, то <math>| X | \sim \chi_1 \,</math>
- Если <math>X \sim \chi_1\,</math>, то <math>\sigma X \sim HN(\sigma)\,</math> (полунормальное распределение) для любых <math> \sigma > 0 \, </math>
- <math> \chi_2 \sim \mathrm{Rayleigh}(1)\,</math> (распределение Рэлея)
- <math> \chi_3 \sim \mathrm{Maxwell}(1)\,</math> (распределение Максвелла)
- <math> \|\boldsymbol{N}_{i=1,\ldots,k}{(0,1)}\|_2 \sim \chi_k </math> (вторая норма от <math> k </math> стандартных нормальных случайных величин — хи-распределение с <math> k </math> степенями свободы)
- Хи-распределение — специальный случай гамма-распределения, распределение Накагами и нецентрального хи-распределения.
| Название | Статистика |
|---|---|
| хи-квадрат распределение | <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2</math> |
| нецентральное хи-квадрат распределение | <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2</math> |
| хи-распределение | <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}</math> |
| нецентральное хи-распределение | <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}</math> |
См. также
Литература
- Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
- Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.
Ссылки
