Русская Википедия:Хорда (геометрия)
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:Другие значения Шаблон:Rq
Хо́рда (от Шаблон:Lang-el — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).
Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегментом, а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда окружности.
Свойства хорд окружности
Хорда и расстояние до центра окружности
- Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны.
- Если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны.
- Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше.
- Если расстояние от центра окружности до хорды меньше, то эта хорда больше. Если расстояние от центра окружности до хорды больше, то эта хорда меньше.
- Наибольшая возможная хорда является диаметром.
- Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
- Если расстояние от центра окружности до хорды равно радиусу, то эта хорда является точкой.
- Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
Хорда и диаметр
- Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде.
- Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.
- Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
- Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
- Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
Хорда и радиус
- Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде.
- Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
- Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
- Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
- Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
- Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.
Хорда и вписанный угол
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
- Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
- Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
- Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.
Хорда и центральный угол
- Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
- Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
- Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
- Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.
Хорда и дуга
- Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
- Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
- Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
- Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая хорда стягивает бóльшую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
- Из дуг, бóльших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, бóльшая дуга стягивается меньшей хордой.
- Из дуг, бóльших полуокружности, бóльшая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает бóльшую дугу.
- Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
- Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.
Другие свойства
- При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1): <math> AE \cdot EB = CE \cdot ED </math>.
- Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.
Свойства хорд эллипса
Основные формулы
- Длина хорды равна <math>l = 2 r \sin \frac{\alpha}{2} = D \sin \frac{\alpha} {2}</math>, где <math>r</math> — радиус окружности, <math>D</math> – диаметр окружности, <math>\alpha</math> — центральный угол, опирающийся на данную хорду (рис. 2).
- Формула, напрямую выводящаяся из теоремы Пифагора (рис. 3): <math> \left( \frac{l}{2} \right)^2 + d^2 = r^2 </math>, где <math>l</math> — длина хорды, <math>r</math> — радиус окружности, <math>d</math> — расстояние от центра окружности до хорды.
- Если известны все четыре длины отрезков двух пересекающихся хорд, например, <math>\overline a=AE\,;
\, \overline A=EB\,;\,\overline b=CE\,;\,\overline B=ED</math> (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:
- <math>r=\sqrt{\overline A\cdot \overline a+\frac{(\overline A-\overline a)^2+(\overline B-\overline b)^2-2\,(\overline A-\overline a)(\overline B-\overline b)\cos{t}}{4\,\sin^2{t}}}</math>
- при ограничениях: <math>\overline A\cdot \overline a=\overline B\cdot \overline b \,; \quad \overline A \ge \overline a \,;\quad \overline B \ge \overline b </math>.
- Здесь <math>t\,</math> — угол между отрезками <math>\overline A</math> и <math>\overline B\,\,</math> (или между отрезками <math>\overline a </math> и <math>\overline b</math>) .
- В случае, когда хорды взаимно перпендикулярны,
- <math>r=\frac 12 \sqrt{\overline A^2+\overline a^2+\overline B^2+\overline b^2}</math>
Связанные понятия
Ссылки
