Русская Википедия:Целое алгебраическое число
Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо <math>\Omega</math>. Очевидно, <math>\Omega</math> является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.
Пусть <math>u</math> — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо <math>\mathbb{Z}[u]</math>, порождённое добавлением <math>u</math> к кольцу обычных целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Оно образовано всевозможными значениями <math>f(u)</math>, где <math>f(z)</math> — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число <math>u</math> является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда <math>\mathbb{Z}[u]</math> — конечнопорождённая абелева группа.
Примеры целых алгебраических чисел
- Гауссовы целые числа.
- Корни из единицы — корни многочлена <math>x^n-1</math> над полем комплексных чисел.
Свойства
- Все рациональные числа, входящие в <math>\Omega</math>, являются целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь <math>m/n</math> со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
- Для каждого алгебраического числа <math>u</math> существует натуральное число <math>n</math> такое, что <math>nu</math> — целое алгебраическое число.
- Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.
История
Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида <math>a+b\sqrt{-5}</math> имеют место 2 разложения:
- <math>6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5})</math>,
причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.
Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.
Литература
- К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
- Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М.: Наука, 3-е изд., 1985.— 504 с.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
- Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
- Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
- Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел
