Русская Википедия:Целозначный многочлен

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Целозначный многочлен — многочлен, принимающий целые значения для целого аргумента.

Целозначный многочлен не обязательно имеет целые коэффициенты: например, <math>p(n)=\frac{n(n+1)}{2}</math> целозначен, поскольку одно из чисел <math>n</math> и <math>n+1</math> чётно.

Порождающие целозначные многочлены

Целозначные многочлены одной переменной степени не выше <math>d</math> образуют свободную абелеву группу <math>I_d=\mathbb Z^{d+1}</math> на <math>d+1</math> образующих. Например, <math>\gamma_k=\tbinom{n+k}{k}</math> для <math>k=0, ..., d</math> (то есть <math>\gamma_0=1</math>, <math>\gamma_1=n+1</math>, <math>\gamma_2=\frac{(n+1)(n+2)}{2}</math> и т. д.) или <math>S_k=\tbinom{n+k}{d}</math> для <math>k=0, ..., d</math>, где <math>\tbinom{n+k}{k}</math> — биномиальные многочлены.

Связь с алгебраической геометрией

Пусть <math>K_0(\mathbb P^d)</math> — группа Гротендика проективного пространства размерности <math>d</math>, то есть абелева группа, порождённая классами <math>[E]</math> векторных расслоений <math>E</math> и соотношениями <math>[E \oplus F]=[E]+[F]</math>; в частности, изоморфная <math>\mathbb Z^{d+1}</math>. Построим отображение <math>f: K_0(\mathbb P^d) \to I_d</math>, отправляющее расслоение <math>V</math> в его многочлен Гильберта <math>\chi(V(n))</math>, где <math>\chi</math> — эйлерова характеристика векторного расслоения как когерентного пучка. Тогда <math>f(\mathcal O|_{\mathbb P^k})=\gamma_k</math> и <math>f(\mathcal O(k))=S_k</math>, то есть стандартные целочисленные многочлены имеют ясный геометрический смысл.

Ссылки

• Шаблон:Citation