Русская Википедия:Централизатор и нормализатор
В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
Определение применимо также к полугруппам.
В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли.
Шаблон:Не переведено 5 в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.
Определения
- Группы и полугруппы
Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется какШаблон:Sfn
- <math>\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs</math> для всех <math>s\in S\}</math>
Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S={a} — множество, состоящее из единственного элемента, CG({a}) можно сократить до CG(a). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(a), которое проводит параллель с обозначением центра группы. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G, Z(G), и централизатор элемента g в G, который обозначается как Z(g).
Нормализатор S в группе (или полугруппе) G по определению равен
- <math>\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}</math>
Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S, то должно выполняться <math>gs = sg</math>, однако, если g — нормализатор, <math>gs = tg</math> для некоторого t из S, возможно, отличного от s. То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием.
- Кольца, алгебры, кольца и алгебры Ли
Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R.
Если <math>\mathfrak{L}</math> — алгебра Ли (или Шаблон:Не переведено 5) с произведением Ли [x,y], то централизатор подмножества S <math>\mathfrak{L}</math> определяется как Шаблон:Sfn
- <math>\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0</math> для всех <math> s\in S \}</math>
Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то для R можно задать скобочное произведение [x,y] = xy − yx. Естественно, xy = yx тогда и только тогда, когда [x,y] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как LR, то ясно, что централизатор кольца S в R совпадает с централизатором кольца Ли S в LR.
Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) <math>\mathfrak{L}</math> задаётся равенствомШаблон:Sfn
- <math>\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S</math> для всех <math> s\in S \}</math>
В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически Шаблон:Не переведено 5 множества S в <math>\mathfrak{L}</math>. Если S − аддитивная подгруппа <math>\mathfrak{L}</math>, то <math>\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)</math> является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.Шаблон:Sfn
Свойства
Полугруппы
Пусть S′ — централизатор, то есть <math>S'=\{x\in A: sx=xs\ </math> для всех <math>s\in S\}.</math> Тогда:
- S′ образует подполугруппу.
- <math>S' = S = S</math> — коммутант является своим Шаблон:Не переведено 5.
- Группы Шаблон:Sfn
- Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G.
- Ясно, что CG(S)⊆NG(S). На самом деле, CG(S) всегда является нормальной подгруппой NG(S).
- CG(CG(S)) содержит S, но CG(S) не обязательно содержит S. CG(S) будет совпадать с S если st=ts для любого s и t из S. Естественно, что если H — абелева подгруппа G, CG(H) содержит H.
- Если S является подполугруппой G, то NG(S) содержит S.
- Если H является подгруппой G, то наибольшая подгруппа, в которой H нормальна, является подгруппой NG(H).
- Центр G — это в точности CG(G) и G является абелевой группой в том и только в том случае, когда CG(G)=Z(G) = G.
- Для множеств, состоящих из одного элемента, CG(a)=NG(a).
- Из принципа симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G, T⊆CG(S) в том и только в том случае, когда S⊆CG(T).
- Для подгруппы H группы G факторгруппа NG(H)/CG(H) изоморфна подгруппе Aut(H), группе автоморфизмов группы H. Поскольку NG(G) = G и CG(G) = Z(G), отсюда также следует, что G/Z(G) изоморфно Inn(G), подгруппе Aut(G), состоящей из всех внутренних автоморфизмов G.
- Если мы определим гомоморфизм группы T : G → Inn(G), положив T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1, то мы можем описать NG(S) и CG(S) в терминах действия группы Inn(G) на G: стабилизатор S в Inn(G) — это T(NG(S)), и подгруппа Inn(G), фиксирующая S — это T(CG(S)).
- Кольца и алгебрыШаблон:Sfn
- Централизаторы в кольцах и алгебрах — это подкольца и подалгебры, соответственно, а централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли — это подкольца Ли и подалгебры Ли, соответственно.
- Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S.
- CR(CR(S)) содержит S, но не обязательно совпадает с ним. Шаблон:Не переведено 5 рассматривает случаи, когда в результате получаем совпадение.
- Если S является аддитивной подгруппой кольца Ли A, то NA(S) является наибольшим подкольцом Ли A, в котором S — идеал Ли.
- Если S — подкольцо Ли кольца Ли A, то S⊆NA(S).
См. также
Примечания
Ссылки
