Русская Википедия:Центральная сила
Шаблон:Перенести сюда Сила F, действующая на точку P, называется центральной с центром в точке O, если во всё время движения она действует вдоль линии, соединяющей точки O и P.
Основные свойства
- Если материальная точка совершает движение под действием центральной силы с центром O, то момент количества движения точки сохраняется, а она сама совершает движение в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения относительно точки O и проходящей через эту точку O.
- Если система материальных точек совершает движение под действием центральных сил c общим центром O, то момент количества движения системы сохраняется.
- Если действующая на точку P центральная сила зависит лишь от её расстояния <math> |\mathbf{r}| </math> до центра O, то такая центральная сила потенциальна: существует функция U, называемая потенциалом, такая, что
- <math> \mathbf{F}(\mathbf{r}) = - \mathbf{\nabla} U(|\mathbf{r}|) </math>
- Формула Бине позволяет определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.
Примеры центральных сил
- Центральная сила ньютоновского притяжения (величина силы F(r) пропорциональна 1/r2)
- Сила Кулона (величина силы F(r) пропорциональна 1/r2)
- Сила Гука (величина силы F(r) пропорциональна r)
Движение под действием центральной силы
Как видно на Рис.1 единственная действующая между телами <math> \alpha </math> и <math> K</math> сила <math> \vec F</math> может быть разложена на две составляющие: <math> \vec F= \vec F_t + \vec F_n </math> (2)
При этом <math>\vec F_t </math> есть тангенциальная сила, в зависимости от направления движения тела по своей траектории на рисунке либо тормозящая его движение, либо ускоряющая его.
<math>\vec F_n </math> есть сила, направленная по нормали к касательной к траектории в сторону мгновенного центра и потому являющаяся центростремительной силой.[1]
Непосредственно из определения понятий о моментах силы и момента количества движения (момента импульса) следует экспериментально подтверждаемый факт, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела <math> \vec L </math> прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы <math>\vec M </math>:
<math>\frac {d\vec L}{dt} = \vec M (3)</math>
Однако в поле центральной силы её момент всегда равен нулю (Формула (1)). Из этого непосредственно следует, что при любом движении тела в поле центральной силы момент количества движения движущегося под её действием тела остаётся постоянным:
<math>\vec L= const (4)</math>. Но, поскольку постоянство вектора есть одновременно и сохранение его направления в пространстве, то заметаемая при движении тела площадка всегда лежит в одной и той же плоскости. Из этого следует, что любая траектория движения тела под действием центральной силы есть плоская кривая.
Наиболее часто движение тел в гравитационном поле изучают в области небесной механики, где преобладают гравитационные воздействия, и потому изучаемая система взаимодействующих сил может рассматриваться как консервативная система, то есть такая, в которой сохраняется полная энергия тела в виде суммы потенциальной и кинетической энергии.[2]
<math>E =W_k + W_p </math> (25), где:
<math> W_k = \frac{m}{2}(v^2_n + v^2_t) (26) </math> причём <math> v_n </math> и <math> v_t </math> соответствуют скоростям, создаваемым нормальной и тангенциальной составляющей действующей на тело силы на Рис.1
Воспользовавшись определением кинетического момента:<math>L = mrv_t </math> получаем для кинетической энергии тангенциального движения соотношение:
<math> W_k (t) = \frac{L^2}{2mr^2}(27) </math> .
А для движения по нормали к траектории: <math> W_k (n) =\frac {m v^2_n}{2} (28)</math>
<math> W_p = \frac {G mM}{r} (29)</math>
Тогда выражение для полной энергии тела будет иметь вид:
<math>E = \frac{m v^2_n}{2} + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac {G mM}{r} (30)</math>
Введя в рассмотрение эффективный потенциал <math> U^* </math> :
<math> U^* =\frac{L^2}{2mr^2} - \frac {G mM}{r} (31)</math>
Получаем возможность связать диапазон изменения длины радиус-вектора траектории тела с запасённой им энергией, что представлено на рис.2[1][3].
Так при минимальной энергии движущегося тела <math>E_3</math> тело движется по круговой орбите с радиусом <math>r_0</math>
Если энергия движения тела больше, скажем <math>E_2</math>, траектория тела будет представлять эллипс с малой полуосью <math>r_a</math> и большой <math>r_b</math>.
Наконец, при энергии <math>E_1</math> тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние <math>r_s</math>
См. также
Примечания
Литература
- ↑ 1,0 1,1 Klaus Dransfeld, Paul Kleine, Georg Michael Kalvius. Physik I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2001 ISBN 3-486-25416-2
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокФЭСне указан текст - ↑ Peter Rennert, Herbert Schmiedel .Physik. Wissenschaftsverlag. Leipzig, Mannheim, Zürich 1995. ISBN 3-411-15821-2
