Русская Википедия:Центральный биномиальный коэффициент

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов

<math>{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}</math> для всех <math>n \geq 0</math>.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … Шаблон:OEIS

Свойства

Производящая функция:

<math>\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots. </math>


По формуле Стирлинга получаем:

<math> {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}</math> при <math>n\rightarrow\infty</math>.


Полезные ограничения:

<math>\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}</math> для каждого <math>n \geq 1</math>


Если нужна большая точность:

<math>{2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right)</math> где <math>\frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8}</math> для всех <math>n \geq 1</math>.


С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:

<math>C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} -
       {2n \choose n+1}</math> для каждого <math>n \geq 0</math>.

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа <math> \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n\Beta(n+1,n)}</math>, для всех действительных n, при которых выражение определено, где <math>\Gamma(x)</math> — это Гамма-функция, а <math>\Beta(x,y)</math> это Бета-функция.

См. также

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Центральный_биномиальный_коэффициент&oldid=11281456