Русская Википедия:Центрированное квадратное число
Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях.
Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке. Центрированные квадратные числа, как и фигурные числа, имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.
Фигуры для первых четырех центрированных квадратных чисел показаны ниже:
Связь с другими фигурными числами
n-ое центрированное квадратное число задается формулой
- <math>C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.</math>
Другими словами, центрированное квадратное число — это сумма двух последовательных квадратов. Следующие диаграммы демонстрируют формулу:
Формулу можно представить следующим образом
- <math>C_{4,n} = {(2n-1)^2 + 1 \over 2};</math>
таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-го нечетного квадрата + 1/2, что иллюстрируется ниже:
Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:
- <math>C_{4,n} = 1 + 4\, T_{n-1},</math>
где
- <math>T_n = {n(n + 1) \over 2} = {n^2 + n \over 2} = {n+1 \choose 2}</math>
есть n-ое треугольное число. Это легко увидеть, если просто удалить центральную точку и разделить оставшиеся на четыре треугольника, как ниже:
Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число (Conway and Guy, p. 50).
Свойства
Первые несколько центрированных квадратных чисел[1]:
- 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …
Все центрированные квадратные числа нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.
Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6, 8 или 12.
Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13).
Центрированные квадратные простые
Центрированные квадратные простые — это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты.
Несколько первых центрированных квадратных простых[2]:
- 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, …
Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.
См. также
- Число клеток в окрестности фон Неймана порядка r совпадает с центрированным квадратным числом с номером r
- Теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов
Примечания
Литература
Ссылки
