Русская Википедия:Центроид треугольника

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Центр треугольника Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой <math>M</math>. Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
• Если <math>M</math> — центроид треугольника <math>ABC</math> то для любой точки <math>O</math> верно равенство

  <math>\overrightarrow{OM}=\frac13(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})</math>.

• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть <math>ABC</math> — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника <math>ABC</math>, называется окружностью Парри треугольника <math>ABC</math>.
• Три чевианы, проведённые через произвольную точку <math>O</math> внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка <math>O</math> совпадает с центроидомШаблон:Sfn.
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

<math>AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)</math>.

• Пусть <math>q_a</math>, <math>q_b</math> и <math>q_c</math> — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>. ТогдаШаблон:Rp

<math> \frac{q_a}{q_b} = \frac ba,

\quad\frac{q_b}{q_c}=\frac cb, \quad\frac{q_a}{q_c}=\frac ca</math>

и

<math>q_a\cdot a=q_b\cdot b=q_c\cdot c=\frac23S</math>,

где <math>S</math> — площадь треугольника.

История

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике

• Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.
• Шаблон:Теорема
• Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности.
• У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Шаблон:Math, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Шаблон:Math и точка пересечения его диагоналей Шаблон:Math коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле

<math>PG_a = \tfrac{4}{3}PG_v.</math>

См. также

• Барицентр
• Центр тяжести
• Центр масс
• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника

Литература

• Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Шаблон:H
• Шаблон:Citation