Русская Википедия:Центр Штейнера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности тела.

Определение

Пусть <math>K\subset \R^n</math> — выпуклое тело и <math>h_{K,p}</math> его опорная функция с центром в точке <math>p</math>. Точка <math>p</math> является центром Штейнера тела <math>K</math> если

<math>\int\limits_{\,u\in\mathbb{S}^{n-1}\,}h_{K,p}(u)\cdot u=0.</math>

Свойства

Пусть <math>k(K)</math> обозначает центр Штейнера тела <math>K</math>.

• Центр Штейнера существует и единствннен для любого выпуклого тела.

• Центр Штейнера суммы Минковского двух тел есть сумма центров этих тел. То есть

  <math>k(K_1+K_2)=k(K_1)+k(K_2).</math>

• Отображение <math>K\mapsto k(K)</math> липшицево относительно метрики Хаусдорфа; то есть существует константа <math>L_n</math> такая, что

  <math>|k(K_1)-k(K_2)|\le L_n\cdot |K_1-K_2|_H,</math>

где <math>|K_1-K_2|_H,</math> обозначает расстояние Хаусдорфа от <math>K_1</math> до <math>K_2</math>.

• Константа <math>L_n</math> наименьшая для всех возможных выборов центров <math>k(K)\in K</math>.
• <math>L_1=1</math>, <math>L_2=\tfrac1\pi</math>, <math>L_3=\tfrac32</math>. В общем случае,

<math>L_n=\tfrac 2{\sqrt{\pi}}\cdot \frac{\Gamma(\tfrac n2+1)}{\Gamma(\tfrac n2+\tfrac12)},</math>

где <math>\Gamma</math> обозначает гамма-функцию.

См. также

• Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника.

Литература

• Шаблон:Книга