Русская Википедия:Центр вписанной окружности

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Центр треугольника Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Традиционно обозначается латинской буквой <math>I</math> (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом <math>X(1)</math>.

Свойства

  • Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
  • Для треугольника <math>\triangle ABC</math> со сторонами <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, противолежащими вершинам <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> соответственно, инцентр делит биссектрису угла <math>A</math> в отношении:
    <math>\frac{b+c}{a}</math>.
Файл:Вики теорема о трилистнике.png
Теорема трилистника
  • Если продолжение биссектрисы угла <math>B</math> пересекает описанную окружность <math>\triangle ABC</math> в точке <math>D</math>, то выполняется равенство: <math>DA=DC=DI=DJ</math>, где <math>J</math> — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <math>AC</math>; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).
  • Расстояние между инцентром <math>I</math> и центром описанной окружности <math>O</math> выражается формулой Эйлера:
    <math>OI^2=R^2-2Rr</math>,
где <math>R</math> и <math>r</math> — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[1].
  • Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).
Файл:Вики полувписанная окружность.png
Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)
  • Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[4].
    • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
Файл:Теорема Тебо.svg
Теорема Тебо 3
  • Третья теорема Тебо. Пусть <math>ABC</math> — произвольный треугольник, <math>D</math> — произвольная точка на стороне <math>BC</math>, <math>I_1</math> — центр окружности, касающейся отрезков <math>AD, BD</math> и описанной около <math>\Delta ABC</math> окружности, <math>I_2</math> — центр окружности, касающейся отрезков <math>CD, AD</math> и описанной около <math>\Delta ABC</math> окружности. Тогда отрезок <math>I_1I_2</math> проходит через точку <math>I</math> — центр окружности, вписанной в <math>\Delta ABC</math>, и при этом <math>I_1I:II_2=\operatorname{tg}^2\frac{\phi}{2}</math>, где <math>\phi=\angle BDA</math>.
  • Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, Точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.[5].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Треугольник

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга — С. 11, п. 5.
  2. ↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ Ross Honsberger, "3. An Unlikely Collinearity" in "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, Шаблон:ISBN), p. 30, Figure 34
  5. ↑ Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 11, правая колонка, 2-ой абзац сверху// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Центр_вписанной_окружности&oldid=11280268