Русская Википедия:Центр окружности девяти точек

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Центр треугольника Центр окружности девяти точек — одна из замечательных точек треугольника. Её часто обозначают как <math> O_9</math>.

Окружность девяти точек, или окружность Эйлера, проходит через девять важных точек треугольника — середины сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Центр этой окружности указан как точка X(5) в энциклопедии центров треугольника Кларка КимберлингаШаблон:Sfn[1].

Свойства

<math>O_9O=O_9H=3O_9M~.</math>

Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.

  • Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера, показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри Шаблон:Не переведено 5 (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности — это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольникШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
  • Расстояние от центра окружности девяти точек до инцентра <math>I</math> удовлетворяет формулам:
<math>IO_9 < \dfrac{1}{2}IO~,</math>
<math>IO_9=\dfrac{1}{2}(R-2r) < \frac{R}{2}~,</math>
<math>2R\cdot IO_9=OI^2~,</math>

где <math>R</math> и <math>r</math> — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

  • Центр окружности девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника, ортотреугольника и треугольника Эйлера[2]Шаблон:Sfn. Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек.
  • Центр окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентра[3].
  • Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
  • Таким образом, центр окружности девяти точек служит центром симметрии, переводящим серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) Шаблон:Sfn.
  • Согласно теореме Лестера центр окружности девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности Шаблон:Sfn.
Файл:Kosnita point.svg
Точка Коснита, изогонально сопряженная центру окружности девяти точек

Координаты

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек равныШаблон:Sfn[1]:

<math>\cos(B-C) : \cos(C-A) : \cos(A-B)</math>
<math>=\cos A+2\cos B \cos C:\cos B+2\cos C \cos A:\cos C+2\cos A\cos B</math>
<math>=\cos A-2\sin B \sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B</math>
<math>=bc[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]:ca[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2]:ab[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]~.</math>

Барицентрические координаты центра равны[1]:

<math>a\cos(B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B)</math>
<math>=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2~.</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Треугольник

Шаблон:Rq

Эта статья нуждается в дорботке:
не обозначены на рисунках:
точки X(5), H, M, I, X(485), X(486); отрезки a, b, c
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-23.
  2. ↑ Здесь не следует путать треугольник Эйлера из теории чисел (наподобие треугольника Паскаля) и треугольник Эйлера как треугольник, образованный точками Эйлера. Точки Эйлера — это середины отрезков, соединяющих оротоцентр с вершинами треугольника.
  3. ↑ Энциклопедия центров треугольника приписывает это наблюдение Рэнди Хьюстону(Randy Hutson, 2011).
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Центр_окружности_девяти_точек&oldid=11280385