Русская Википедия:Цепной комплекс
Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.
Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.
Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.
Определения
Цепным комплексом называется последовательность <math>(K_\bullet, \partial_\bullet)</math> модулей и гомоморфизмов <math>\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}</math>, называемых граничными операторами или дифференциалами:
- <math>\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots </math>,
такая что <math>\partial_{n}\partial_{n+1}=0</math>. Элементы <math>K_n</math> называются <math>n</math>-мерными цепями, элементы ядра <math>Z_n K=\operatorname{Ker} \partial_n</math> — <math>n</math>-мерными циклами, элементы образа <math>B_n K=\operatorname{Im}\partial_{n+1}</math> — <math>n</math>-мерными границами. Из <math>\partial_{n}\partial_{n+1}=0</math> следует, что <math>B_n K \subset Z_n K</math> (полуточность). Если к тому же <math>B_n K = Z_n K</math>, то такой комплекс называется точным.
Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами <math>\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet)</math>, где <math>\varphi_{\bullet}</math> последовательность морфизмов <math>\varphi_{n}\colon K_n \to L_n</math>, такая что <math>\varphi_{n}</math> коммутирует с дифференциалом, то есть <math>\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}</math>.
Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль <math>M_*</math>, снабжённый дифференциалом <math>\partial: M_*\to M_*</math> степени −1.
Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.[1]
Коцепной комплекс
Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей <math>(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})</math> и гомоморфизмов <math>d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}</math>, таких что
- <math>d^{n+1} d^n = 0</math>
Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.
- <math>\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \ldots</math>
Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.
Гомологии и когомологии
Шаблон:Main n-мерная группа гомологий <math>H_n</math> цепного комплекса <math>(K_\bullet, \partial_\bullet)</math> является его мерой точности в n-ом члене и определяется как
- <math>H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}</math>. Для точного комплекса <math>H_n=0</math>
Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:
- <math>H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1}</math>
Гомоморфизмы цепных комплексов
Гомоморфизмом цепных комплексов <math>(A^\bullet , \delta^\bullet)</math> и <math>(B^\bullet, \gamma^\bullet)</math> называется такое отображение <math>f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N,</math> что следующая диаграмма оказывается коммутативной:
Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.
Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom
Если V = V<math>{}_*</math> и W = W<math>{}_*</math> — цепные комплексы, то их тензорное произведение <math> V \otimes W </math> — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид
- <math> (V \otimes W)_i = \bigoplus_{\{j,k|j+k=i\}} V_j \otimes W_k, </math>
а дифференциал задаётся формулой
- <math> \partial (a \otimes b) = \partial a \otimes b + (-1)^{\left|a\right|} a \otimes \partial b, </math>
где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а <math> \left|a\right| </math> обозначает степень элемента a.
Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей <math>\text{Ch}_K</math> (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой
- <math> a \otimes b \mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|} b \otimes a </math>.
Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид <math>\Pi_{i}\text{Hom}_K (V_i,W_{i+n})</math>, а дифференциал задаётся формулой
- <math> (\partial f)(v) = \partial(f(v)) - (-1)^{\left|f\right|} f(\partial(v)) </math>.
Имеется естественный изоморфизм
- <math>\text{Hom}(A\otimes B, C) \cong \text{Hom}(A,\text{Hom}(B,C))</math>.
Цепная гомотопия
Шаблон:Main Цепная гомотопия <math>D\colon X \to Y</math> между гомоморфизмами комплексов <math>f</math> и <math>g</math> — это такой гомоморфизм цепных комплексов <math>(X^\bullet, \partial^\bullet)</math> и <math>(Y^\bullet, \delta^\bullet)</math> степени +1 (то есть <math>D_k \colon X_k \to Y_{k+1}</math>), для которого
- <math>\delta D + D \partial = g - f</math>
- <math>\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k</math>
Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид
Примечания
Литература
- Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — Шаблон:М: 1961. (Б-ка сборника «Математика»).
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Шаблон:М: Мир, 1976.
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Шаблон:М: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
- Маклейн С. Гомология, — Шаблон:М: Мир, 1966.
