Русская Википедия:Цепочка Тоды
Шаблон:Значения Цепо́чка То́ды (Шаблон:Lang-en) — система дискретных нелинейных уравнений, описывающих динамику взаимосвязанных нелинейных осцилляторов. Имеет важное значение в теории колебаний кристаллических решёток.
Система в общем случае имеет вид[1]:
- <math>m\ddot{r}_n = 2f(r_n) - f(r_{n+1}) - f(r_{n-1})</math>
где <math>r_n(t)</math> имеет смысл величины отклонения n-го осциллятора от положения равновесия, а <math>f(r_i)</math> — нелинейная функция, имеющая смысл возвращающей силы, действующей на i-ый осциллятор. Точки означают взятие операции дифференцирования.
Впервые предложена и проанализирована для случая <math>f(t) = - \alpha (1 - \exp(-\beta t))</math> Морикадзу Тодой в 1967 году[2][3].
Эквивалентная форма
Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида
- <math>\dot{s}_n = f(r_n)</math>
- <math>m\dot{r}_n = 2s_n - s_{n+1} - s_{n-1}</math>
Решения
Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид
- <math>s_n = S(\theta) = S(\omega t - pn)</math>
где функция <math>S(\theta)</math> в случае, если <math>f(r_i) = - \alpha (1 - \exp(-\beta t))</math>, удовлетворяет уравнению
- <math>\frac{m\omega^2}{\beta}\frac{S}{\alpha + \omega S'} = S(\theta+p) + S(\theta-p) - S(\theta)</math>
Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:
- <math>S(\theta) = bZ(2K\theta)</math>
где
- <math>Z(\theta) = E(\theta) - \theta\frac{E(K)}{K}</math> — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K
- <math>E(\zeta) = \int\limits_0^\zeta \mathrm{dn}^2z dz</math>
Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и <math>\omega</math> с параметрами <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.
Функция <math>r_n</math> находится из соотношения
- <math>- \alpha \left(1 - e^{-\beta r_n}\right) = \dot{s}_n = 2K\omega b\left(\mathrm{dn}^2 2K\theta - \frac{E}{K}\right)</math>
Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе <math>K\to\infty</math>, при одновременном выполнении условий:
- <math>2K\omega\to\Omega</math>
- <math>2Kp\to P</math>
В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид
- <math>- \alpha \left(1 - \beta e^{-r_n}\right) = \frac{m\Omega^2}{\beta\cosh^2\left[\Omega t - Pn\right]}</math>
М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния[4][5].
Примечания
Литература
