Русская Википедия:Циклическая группа
Циклическая группа — группа <math>(G, \cdot)</math>, которая может быть порождена одним элементом Шаблон:Mvar, то есть все её элементы являются степенями Шаблон:Mvar (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — целое число). Математическое обозначение: <math>G = \langle a \rangle</math>.
Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени <math>g^n</math> будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению <math>(\mathbb{Z}, +).</math>
Свойства
- Все циклические группы абелевы.
- Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе <math>\mathbb{Z}_n</math> = <math>\{0,1,\dots,n-1\}</math> со сложением по модулю n (её также обозначают <math>\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}</math>), а каждая бесконечная — изоморфна <math>\mathbb{Z}</math>, группе целых чисел по сложению.
- В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
- Каждая подгруппа циклической группы циклична.
- У циклической группы порядка n существует ровно <math>\varphi(n)</math> (функция Эйлера) порождающих элементов.
- Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
- Прямое произведение двух циклических групп порядков <math>n</math> и <math>m</math> циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
- Например, <math>\mathbb{Z}_{12}</math> изоморфна <math>\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4</math>, но не изоморфна <math>\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2</math>.
- Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа <math>\mathbb{Z}_{p^n}</math>, где p — простое число, или <math>\mathbb{Z}</math>.
- Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
- Кольцо эндоморфизмов группы <math>\mathbb{Z}_n</math> изоморфно кольцу <math>\mathbb{Z}_n</math>. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм <math>\mathbb{Z}_n</math>, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов <math>\mathbb{Z}_n</math> изоморфна <math>\mathbb{Z}_n^{\times}</math>.
Примеры
- Группа корней из единицы степени n по умножению.
- Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.
Доказательства
Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Доказательство. Пусть <math>G</math> — циклическая группа и <math>H</math> — подгруппа группы <math>G</math>. Если группа <math>G</math> тривиальна (состоит из одного элемента), то <math>H=G</math> и <math>H</math> циклична. Если <math>H</math> — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то <math>H</math> циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что <math>G</math> и <math>H</math> не являются тривиальными.
Пусть <math>g</math> — образующий элемент группы <math>G</math>, а <math>n</math> — наименьшее положительное целое число, такое что <math>g^n \in H</math>. Утверждение: <math>H=\langle g^n \rangle</math>
- <math>\langle g^n \rangle \subseteq H</math>
- <math>{\forall a \in \langle g^n \rangle}\ {\exists z \in \mathbb{Z}} \mid {a=(g^n)^z}</math>
- <math>g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H</math>
- Следовательно, <math>\langle g^n \rangle \subseteq H</math>.
- <math>H \subseteq \langle g^n \rangle</math>
- Пусть <math>h \in H</math>.
- <math>h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\mathbb{Z}} \mid h=g^x</math>.
- Согласно алгоритму деления с остатком <math>\exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n-1 \land x=qn+r</math>
- <math>h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}</math>.
- <math>h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H</math>.
- Исходя из того, каким образом мы выбрали <math>n</math> и того, что <math>0 \le r \le n-1</math>, делаем вывод, что <math>r=0</math>.
- <math>r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle</math>.
- Следовательно, <math>H \subseteq \langle g^n \rangle</math>.
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
- Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.
