Русская Википедия:Циклический многогранник

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Циклический многогранник — выпуклый многогранник, вершины которого лежат на кривой <math>t\mapsto (t,t^2,\dots,t^d)</math> в <math>\R^d</math>.

Конструкция

Пусть <math>\mathbf{x}(t)=(t,t^2,\dots,t^d)\in \R^d</math> и <math>t_1<t_2<\dots<t_n</math>. Выпуклая оболочка <math>n</math> точек <math>\mathbf{x}(t_1),\mathbf{x}(t_2),\ldots,\mathbf{x}(t_n)</math> называется <math>d</math>-мерным циклическим многогранником с <math>n</math> вершинами и далее обозначается <math>C(n,d)</math>.

Свойства

• Критерий Гейла: Пусть <math>T=\{t_1,t_2,\dots,t_n\}</math>, и <math>T_d\subset T</math> — подмножество из <math>d</math> элементов. Гипергрань в <math>C(n,d)</math> соответствует <math>T_d</math> тогда и только тогда, когда между любыми двумя соседними числами в <math>T_d</math> лежит чётное число чисел из <math>T</math>.
• Любые <math>\lfloor\tfrac d2\rfloor</math> вершин в <math>C(n,d)</math> образуют грань.
  • В частности, любые две вершины 4-мерного циклического многогранника соединены ребром.
• Число <math>i</math>-мерных граней в <math>C(n,d)</math> при <math>0 \leq i < \lfloor\frac{d}{2}\rfloor</math> равно <math>\binom{n}{i+1}</math>.
  • Используя тождества Дена — Сомервиля, можно найти число граней старших размерностей.
  • Для любого <math>k</math> среди всех <math>d</math>-мерных многогранников с <math>n</math> вершинами циклические многогранники имеют максимальное число <math>k</math>-мерных граней.

Литература

• Шаблон:Книга