Русская Википедия:Циклотронная масса

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Циклотронная масса — величина, играющая роль массы электрона или дырки в выражении для циклотронной частоты их периодического движения в постоянном и однородном магнитном поле.

Эффективная и циклотронная массы

В проводниках с анизотропной поверхностью Ферми инерционные характеристики носителей описываются с помощью тензора эффективных масс <math>m_{ik}</math> (<math>i,k=x,y,z</math>). Тензор эффективных масс является симметричным тензором второго ранга, компоненты которого могут быть как положительными, так и отрицательными. В общем случае циклотронная масса не совпадает ни с одной из компонент тензора эффективных масс. Циклотронная масса <math>m_c</math> появляется в теории, как величина входящая в выражение для циклотронной частоты <math>{{\omega }_{c}}=\left| e \right|B/{{m}_{c}}</math> движения заряжённой частицы по периодической траектории в однородном магнитном поле <math>B</math> (<math>e</math>- заряд частицы). В простейшем случае сферической Ферми поверхности тензор <math>m_{ik}</math> диагонален, а все три диагональные компоненты равны <math>m_{kk}=m^*</math> и совпадают с циклотронной массой <math>m^*=m_c</math>. Циклотронную массу измеряют с помощью изучения циклотронного резонанса, циклотронного резонанса Азбеля-Канера, магнитных осцилляционных эффектов (эффект Шубникова — де Гааза, эффект де Гааза — ван Альфена) и других кинетических эффектов и термодинамических характеристик. Знание циклотронной массы позволяет получить важную информацию о форме поверхности Ферми в твёрдом теле[1][2].

Теория для кремния[3]

Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в <math>k</math>-пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью <math>xz</math> такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии <math>k_0</math>. Пусть вектор магнитного поля <math>\mathbf{B}</math> лежит в этой плоскости и образует угол <math>\theta</math> с осью <math>z</math>. Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид

<math>\varepsilon=\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{k_x^2+k_y^2}{m_t}+\frac{(k_z-k_0)^2}{m_l}\right),</math>

где введены две разные эффективные массы <math>m_t</math>, <math>m_l</math> (диагональные компоненты тензора эффективных масс), называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле <math>\mathbf{B}</math> в отсутствие затухания

<math>\hbar\frac{d\mathbf{k}}{dt}=-e\mathbf{v}\times \mathbf{B},</math>

где <math>\mathbf{k}</math> — волновой вектор, а скорость частицы <math>\mathbf{v}</math> определяется выражением

<math>\mathbf{v}=\frac{1}{\hbar}\nabla_k\varepsilon=\left(\frac{\hbar k_x}{m_t},\,\frac{\hbar k_y}{m_t},\,\frac{\hbar (k_z-k_0)}{m_l}\right).</math>

Теперь распишем покомпонентно закон движения

<math>\hbar\frac{dk_x}{dt}=-\frac{e\hbar Bk_y}{m_t}\cos{\theta},</math>
<math>\hbar\frac{dk_y}{dt}=\frac{e\hbar Bk_x}{m_t}\cos{\theta}-\frac{e\hbar B(k_z-k_0)}{m_l}\sin{\theta},</math>
<math>\hbar\frac{dk_z}{dt}=\frac{e\hbar Bk_y}{m_t}\sin{\theta}.</math>

Нас будет интересовать только решения вида

<math>k_x=k_1e^{i\omega t},\,k_y=k_2e^{i\omega t},\,k_z=k_0+k_3e^{i\omega t}.</math>

Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:

<math>\omega_c=eB\left(\frac{\sin^2{\theta}}{m_lm_t}+\frac{\cos^2{\theta}}{m_t^2}\right)^{1/2}.</math>

Здесь можно определить циклотронную массу как

<math>m_c=\left(\frac{\sin^2{\theta}}{m_lm_t}+\frac{\cos^2{\theta}}{m_t^2}\right)^{-1/2}.</math>

Видно, что если угол равен нулю, то <math>m_c=m_t</math>, а если угол прямой: <math>m_c=\sqrt{m_lm_t}</math>.

Общий случай

В общем случае[4] для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты[5]

<math>\omega_c=\frac{2\pi eB}{\hbar^2}\frac{1}{(\partial S/\partial \varepsilon_F)}</math>

и циклотронной массы

<math>m_c=\frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{\partial S}{\partial\varepsilon}, \qquad (1)</math>

где <math>S(\varepsilon,k_H)</math> — площадь сечения поверхности Ферми плоскостью <math>{k_{H}}=const</math>, <math>k_H</math> — проекция волнового вектора электрона на направление магнитного поля, <math>\varepsilon</math> — энергия электрона.

Случай параболической зоны

Для простейшей изотропной параболической зоны энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора[5]:

<math>\varepsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} \ </math>,
<math>{S}\left( \varepsilon_F ,{{k}_{H}} \right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left( \frac{2{{m}^{*}}\varepsilon_F }{{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2} \right)\,, </math>

где <math>k_{\bot} </math> — величина компоненты волнового вектора, перпендикулярной магнитному полю, <math>\varepsilon_F</math> — энергия Ферми. В этом случае производная от энергии по площади будет иметь простейший вид:

<math>\frac{\partial {S}}{\partial \varepsilon_F }=\frac{2\pi {{m}^{*}}}{{{\hbar }^{2}}}\,.</math>

Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:

<math>m_c = \frac{\hbar^2}{2\pi}\cdot \frac{\partial S}{\partial \varepsilon_F} = m^*\,.</math>

Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны имеется тождественность «циклотронной массы» и «эффективной массы». Данное обстоятельство позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твёрдом теле.

Циклотронная масса для графена[6][7]

Двухмерный закон дисперсии графена вблизи точек Дирака задается уравнением

<math>\varepsilon=\pm \hbar v_F k\,,</math>

где <math>\varepsilon</math> — энергия возбуждения, <math>v_F</math> — скорость Ферми, <math>k</math> — абсолютная величина двухмерного волнового вектора.

Рассмотрим легированный графен с плотностью носителей на единицу площади, <math>n_s</math>, при достаточно низкой температуре, такой что электроны образуют вырожденный Ферми-газ. Тогда можно определить поверхность Ферми как 2D линию — круг <math>\varepsilon=\varepsilon_F</math>. После учёта спинового и долинного вырождения соответствующий волновой вектор Ферми <math>k_F</math> равен

<math>{{k}_{F}}=\sqrt{\pi n_s}\,.</math>

Для того чтобы определить циклотронную массу в квазиклассическом приближении, используем уравнение (1), в которое следует подставить, <math>S(\varepsilon)</math>, площадь в k-пространстве, ограниченную орбитой с энергией <math>\varepsilon</math>

<math>S\left( \varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left( \varepsilon \right)=\frac{\pi {{\varepsilon }^{2}}}{{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}\,,</math>

откуда находим, циклотронную массу:

<math>m_c=\frac{\hbar {{k}_{F}}}{{{v}_{F}}}=\frac{\hbar}{v_F}\sqrt{\pi n_{s}}\,.</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  1. Шаблон:Книга
  2. Шаблон:Книга

Ссылки

  • Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Лифшиц И. М., Азбель М. Я., Каганов М. И.. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971. — 416 с
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Hook J. R. pp. 158—159.
  4. ↑ Hook J. R. p. 375.
  5. ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Cite book
  6. ↑ Eva Y Andrei, Guohong Li and Xu Du, Electronic properties of graphene: a perspective from scanning tunneling microscopy and magnetotransport. Rep. Prog. Phys. 75 (2012) 056501 (47pp) arXiv:1204.4532 [cond-mat.mes-hall]
  7. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Циклотронная_масса&oldid=11289103