Русская Википедия:Циркулянт
Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида
- <math>
C = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_2 & a_3 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}, </math> где все <math>a_i</math> — комплексные числаШаблон:Sfn. Циркулянт можно также кратко описать как <math>C_{ij} = a_{j-i+1 \pmod{n}}, \ i,j=1,\ldots,n</math>Шаблон:Sfn. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.
Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицыШаблон:Sfn.
Свойства
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства[1].
- <math>AB=BA</math> и <math>AB</math> — циркулянт.
- Матрицы <math>\overline{A}</math> (поэлементно комплексно сопряжённая), <math>A^\mathrm{T}</math> (транспонированная) и <math>A^*</math> (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
- Матрица <math>A^k</math> циркулянтная при <math>k \geqslant 0</math>.
- Если <math>A</math> невырождена, то <math>A^{-1}</math> циркулянтная.
- Матрица <math>A</math> — персимметричная и нормальная.
Определитель
Обозначим <math>\zeta</math> первообразный корень из единицы степени <math>n</math>. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта <math>C</math>:
- <math> \operatorname{det} C =\prod\limits_{k=0}^{n-1}(a_1+a_2\zeta^k+\ldots+a_{n-1}\zeta^{k(n-2)}+a_{n}\zeta^{k(n-1)}). </math>
Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора <math>\left( a_1, \ldots, a_n \right)</math>Шаблон:Sfn.
- Примеры
Для <math>n=2</math> определитель циркулянта равен:
- <math> \operatorname{det}
\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_1 \end{pmatrix} =(a_1 - a_2)(a_1 + a_2) = a_1^2 - a_2^2. </math>
Для <math>n=3, \zeta^3=1, \zeta\neq 1</math>:
- <math> \operatorname{det}
\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_1 \end{pmatrix} =(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2\zeta +a_3\zeta^2)(a_1+a_2\zeta^2 +a_3\zeta) = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 - 3 a_1 a_2 a_3. </math>
Связанные определения
Антициркулянт
Антициркулянт — это матрица аналогичного видаШаблон:Sfn:
- <math>
\begin{pmatrix} a_1 & -a_n & -a_{n-1} & \cdots & -a_2 \\ a_2 & a_1 & -a_n & \cdots & -a_3 \\ a_3 & a_2 & a_1 & \cdots & -a_4 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n-1} & a_2 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}. </math>
Косоциркулянт
Матрица вида
- <math>
\left( \begin{array}{ccccc} a_1 &\varphi a_n &\varphi a_{n-1} &\cdots &\varphi a_2 \\ a_2 &a_1 &\varphi a_n &\cdots &\varphi a_3 \\ a_3 &a_2 &a_1 &\cdots &\varphi a_4 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_n &a_{n-1} &a_{n-2} &\cdots &a_1 \end{array} \right) </math> называется <math>\varphi</math>-косоциркулянтом порядка <math>n</math> при <math>\varphi \neq 0</math>Шаблон:Sfn.
Очевидно, что циркулянт является <math>(1)</math>-косоциркулянтом, а антициркулянт — <math>(-1)</math>-косоциркулянтом.
См. также
Ссылки
Примечания
Литература
