Русская Википедия:Цоколь (математика)
Шаблон:Значения Термин цоколь имеет несколько связанных значений в математике.
Цоколь группы
В контексте теории групп цоколь группы G, обозначается soc(G), — это подгруппа, генерируемая Шаблон:Не переведено 5 группы G. Может случиться, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть любая нетривиальная нормальная подгруппа содержит другую такую подгруппу), в этом случае цоколь определяется как подгруппа, генерируемая единичным элементом. Цоколь является прямым произведением характеристически простых группШаблон:Sfn.
Как пример, рассмотрим циклическую группу Z12 с генератором u, которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна генерируется элементом u 4 (который даёт нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая — элементом u 6 (который даёт нормальную подгруппу с 2 элементами). Тогда цоколь группы Z12 — это группа, генерируемая элементами u 4 и u 6, которая просто генерируется элементом u 2.
Цоколь является характеристической подгруппой, а следовательно, нормальной подгруппой. Она, однако, не обязательно является Шаблон:Не переведено 5.
Если группа G является конечной разрешимой группой, то цоколь можно выразить в виде произведения Шаблон:Не переведено 5 p-групп. В этом случае он просто является произведением копий Z/pZ для различных p, где некоторые p могут встречаться несколько раз.
Цоколь модуля
В контексте модуля над кольцом и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей модуля M. Он может рассматриваться как двойственный для Шаблон:Не переведено 5. В обозначениях теории множеств
- <math>\mathrm {soc}(M) = \sum \{ N \}</math>, где суммирование ведётся по всем подмодулям модуля M
что эквивалентно
- <math>\mathrm {soc}(M) = \bigcap\{ E \}</math>, где пересечение ведётся по всем существенным подмодулям модуля M
Цоколь кольца R может относиться к одному из множеств в кольце. Предположим, что определён правый модуль R, soc(RR), и определён левый модуль, soc(RR). Оба эти цоколя являются идеалами колец и известно, что они не обязательно совпадают.
- Если M является артиновым модулем, soc(M) сам является Шаблон:Не переведено 5 модуля M.
- Модуль является полупростым тогда и только тогда, когда soc(M) = M. Кольца, для которых soc(M) = M для всех M, являются в точности полупростыми модулями.
- soc(soc(M)) = soc(M).
- M является конечнопорождённым модулем тогда и только тогда, когда soc(M) является конечнопорождённым и soc(M) является Шаблон:Не переведено 5 модуля M.
- Поскольку сумма полупростых модулей является полупростым модулем, цоколь модуля можно определить как единственный максимальный полупростой подмодуль.
- Из определения rad(R) легко видеть, что rad(R) Шаблон:Не переведено 5 soc(R). Если R является конечномерной унитальной алгеброй и M является конечнопорождённым R-модулем, то цоколь состоит в точности из элементов, аннулируемых радикалом Джонсона кольца RШаблон:Sfn.
Цоколь алгебры Ли
В контексте алгебр Ли цоколь Шаблон:Не переведено 5 — это собственное пространство его структурных автоморфизмов, которые соответствуют собственному значению −1. (Симметричная алгебра Ли разбивается на прямую сумму её цоколя и Шаблон:Не переведено 5.)Шаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
