Русская Википедия:Частица в периодическом потенциале
В квантовой механике задача о частице в одномерном периодическом потенциале — идеализированная задача, которая может быть решена точно (при некоторых специального вида потенциалах), без упрощений. Предполагается, что потенциал задан на всем бесконечном пространстве и периодичен, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, где всегда существует как минимум один дефект — поверхность (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).
Общий вид спектра
Периодическая задача
Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми <math>a</math>. Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:
- <math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2} + V_a(x) \psi (x) = E \psi (x)</math>
с периодическим потенциалом <math> V_a(x) = V_a(x+a).</math> Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть <math>\psi_{1,2}</math> — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:
- <math>\left( \begin{matrix} \psi_1(x+a) \\ \psi_2(x+a) \end{matrix} \right) = \mathrm{T} \left( \begin{matrix} \psi_1(x) \\ \psi_2(x) \end{matrix} \right)</math>
где <math>\mathrm{T}</math> — некоторая матрица (матрица монодромии). Рассматривая вронскиан, несложно показать, что <math>\mathrm{T}</math> унитарна и <math>\det \mathrm{T} = 1</math>. Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид
- <math>\mathrm{T} = \left( \begin{matrix} e^{\mathrm{i}ka} & 0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}ka} \end{matrix} \right)</math>
Отсюда следует теорема Блоха: соответствующие собственные функции имеют вид
- <math> \psi_{1,2} (x) = e^{\mathrm{i}kx} \phi_{1,2}(x), </math>
где <math>\phi_{1,2}(x)</math> — периодические функции. Заметим, что пока что <math>k\in\Complex</math>. Очевидно, что спектру соответствуют <math>k\in\R</math>, что равносильно (с учётом унитарности) условию на след матрицы монодромии
- <math>\mathrm{Tr}\ \mathrm{T} = 2\cos(kx) \in [-2; 2]</math>
Несложно показать, что <math>\mathrm{Tr}( \mathrm{T})(E)</math> есть гладкая функция. Отсюда следует зонная структура спектра: для частицы в периодическом потенциале допустимые уровни энергии — это некоторое, обычно бесконечное, множество отрезков на вещественной оси. Для потенциала общего вида спектр не имеет изолированных точек, при малом шевелении потенциала они либо исчезают, либо превращаются в зоны малой ширины. Заметим, что крайние отрезки спектра в принципе могут быть неограничены, при этом все уровни энергии, начиная с некоторого, являются допустимыми, а полное число зон конечно (см. конечнозонное интегрирование). В подобной постановке задача допускает полное и простое решение в тэта-функциях.
k называют квазиимпульсом, по аналогии с волновой функцией <math>e^{\mathrm{i}kx}</math> для частицы с определённым импульсом k. Как видно, вся волновая функция определяется величиной k и любым участком функции длиной a.
Аналогично возникают энергетические зоны в решётках более высоких размерностей.
Влияние границ
В реальном кристалле число допустимых состояний очень велико. Приводящее к этому дополнительное ограничение на величину квазиимпульса возникает из граничных условий на волновую функцию на поверхности кристалла. При этом вместо непрерывных зон возникают области с плотно расположенными дискретными уровнями энергии (разрешённые зоны) и области, в которых состояний вообще нет (запрещённые зоны). Оценим расстояние между уровнями энергии в разрешённых зонах.
Вместо рассмотрения допустимых уровней энергии (для этого потребовалась бы дополнительная информация, вроде дисперсионного соотношения и точной структуры кристалла) рассмотрим допустимые значения квазиимпульса. При рассмотрении изолированного кристалла обычно рассматриваются периодические граничные условия на волновую функцию. Это предположение оправдано, так как точные граничные условия в реальном кристалле состоят в занулении волновой функции электронов на его границе. Для одномерного кристалла это означает чётность волновой функции (0 находится в центре кристалла). Если же влияние границ на волновую функцию мало́, то приближённо можно забыть про точное значение волновой функции на границе, сохранив лишь свойство симметрии — чётность.
Рассмотрим одномерный кристалл длины <math>L</math>. Граничное условие имеет вид
- <math> \psi (0)=\psi (L)</math>
С учётом теоремы Блоха отсюда следует, что
- <math>kL = 2\pi n,\; n\in\Z</math>
Таким образом, расстояние между соседними допустимыми значениями квазиимпульса равно
- <math>\Delta k = \frac{2\pi n}{L}</math>
Аналогично в общем случае, для кубической решётки:
- <math>\Delta k_{x,y,z} = \frac{2\pi n}{ L_{x,y,z} }</math>
Модель Кронига — Пенни
Для упрощения задачи потенциал приближают прямоугольным: используя теорему Блоха. Находят волновую функцию во всём пространстве, но сначала исследуют решение для одного периода, и делают его гладким на краях, то есть «сшивают» значения соседних функций и их производных.
Рассмотрим один период потенциала[1]:
У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:
- <math>0<x<a-b : {-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = E \psi\Rightarrow \psi = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} \quad \left( \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} \right)</math>
- <math>-b<x<0 : {-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = (E+V_0)\psi \Rightarrow \psi = B e^{i \beta x} + B' e^{-i \beta x} \quad \left( \beta^2 = {2m(E+V_0) \over \hbar^2} \right)</math>
Для нахождения u(x) в каждой области нужно проделать следующие преобразования:
- <math> \psi(0<x<a-b) = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} = e^{ikx} \cdot \left( A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x} \right) </math>
- <math> \Rightarrow u(0<x<a-b)=A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x}</math>
Аналогично получим
- <math> u( -b<x<0)=B e^{ i (\beta - k) x} + B' e^{ - i ( \beta + k ) x} \;</math>
Чтобы найти полное решение нам надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:
- <math> \psi(0^{-})=\psi(0^{+}) \quad \psi'(0^{-})=\psi'(0^{+}) </math>
и периодичности u(x) и u'(x)
- <math> u(-b)=u(a-b) \quad u'(-b)=u'(a-b).</math>
Эти условия дают следующую матрицу:
- <math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha-k)(a-b)} & e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -e^{-i(\beta-k)b} & -e^{i(\beta+k)b} \\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)(a-b)} & -(\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ A' \\ B \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Для существования нетривиального решения необходимо зануление детерминанта этой матрицы. После некоторых преобразований получаем:
- <math> \cos(k a) = \cos(\beta b) \cos[\alpha(a-b)]-{\alpha^2+\beta^2 \over 2\alpha \beta} \sin(\beta b) \sin[\alpha(a-b)]. \qquad ( * )</math>
Для дальнейшего упрощения мы выполним следующие преобразования, смысл которых заключается в переходе к дельта-образным потенциалам (дираковская гребёнка) :
- <math> b \rightarrow 0 \ ; \ V_0 \rightarrow \infty \ ; \ V_0 b = \mathrm{constant}</math>
- <math> \Rightarrow \beta b \rightarrow 0 \ ; \ \beta^2 b = \mathrm{constant} \ ; \ \alpha^2 b \rightarrow 0 \ ; \ \sin(\beta b) \rightarrow \beta b \ ; \ \cos(\beta b) \rightarrow 1 </math>
Тогда конечный ответ будет:
- <math> \cos(k a) = \cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} \qquad \left( P={\beta^2 a b \over 2} \right) </math>
Программный код
Код для Maple
Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение <math>( * )</math>.
restart;
with(plots):
with(stats[statplots]):
eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alpha*(a-b)) - (alpha^2+beta^2)/(2*alpha*beta)*sin(beta*b)*sin(alpha*(a-b));
alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2):
beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2):
e:=1.6*1e-19:
a:=0.54310*1e-9:
m:=0.19*9.1*1e-31:
b:=1/5*a:
h:=6.6*1e-34:
k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a;
#График
p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,labels=[ka, E],color=blue):
xyexchange(p);
#Анимация, зависимость от глубины ямы
p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, color=blue,labels=[ka, E]], V=0..30 ):
xyexchange(p);
На рисунках представлены графические решения уравнения ( * ).
На правом рисунке видно, как при некотором значении потенциальной энергии возможно образование одномерного бесщелевого полупроводника. |
Код для Scilab
Код ниже является фактически переводом предшествующей программы на язык Scilab, за тем исключением, что иллюстрирует также и случай перехода к гребёнке Дирака.
clear all
global Pi e a m b h
Pi = 3.1415926;
step = 0.1;
e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;
function [alpha, beta] = ab(V,E)
alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
beta = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
endfunction
function r=kronigpenney(V, E)
[alpha, beta] = ab(V,E);
r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) ./ (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
endfunction
function r=dirac(V,E)
[alpha, beta] = ab(V,E);
r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) ./ 2 .* sin(alpha*a) ./ (alpha * a));
endfunction
E = [1e-3 : step: 50];
k = kronigpenney(10, E);
plot(k, E, 'b'); plot(-k, E, 'b');
k = dirac(10, E);
plot(k, E, 'r'); plot(-k, E, 'r');
Код для Matlab
Код ниже является переводом предшествующей программы на язык Matlab.
function KronigPenneyM
% clear all
% global Pi e a m b h
Pi = 3.1415926;
step = 0.1;
e = 1.6 * 1e-19;
a = 0.54310 * 1e-9;
m = 0.19*9.1 * 1e-31;
b = 1/5 * a;
h = 6.6 * 1e-34;
E = [0 : step: 50];
N = 3;
hold on;
k = kronigpenney(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'b');
k = dirac(N, E);
plot([real(k) NaN, -real(k)], [E NaN E], 'r');
function [alpha, beta] = ab(V,E)
alpha = sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2);
beta = sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2);
end
function r=kronigpenney(V, E)
[alpha, beta] = ab(V,E);
r = 1/a * acos((cos(beta*b) .* cos(alpha*(a-b)) ) - (alpha.^2+beta.^2) / (2*alpha .* beta) .* sin(beta*b) .* sin(alpha*(a-b)));
end
function r=dirac(V,E)
[alpha, beta] = ab(V,E);
r = 1/a * acos(cos(alpha * a) - (beta.^2 * b * a) / 2 .* sin(alpha*a) / (alpha * a));
end
end
Ссылки
- Задачи по квантовой механике. Часть 1. Галицкий, Карнаков, Коган.
- 1-D periodic potential applet
Примечания
См. также
Шаблон:Модели квантовой механики Шаблон:Методы расчета электронной структуры
