Русская Википедия:Частная производная
Шаблон:Другие значения В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.
Частная производная функции <math>f</math> по переменной <math>x</math> обычно обозначается <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>f_x</math> или <math>D_xf</math>. В случае если переменные нумерованы, например <math>x_1,\dots,x_n</math> используются также обозначения <math>f_i</math> и <math>D_if</math>.
В явном виде частная производная функции <math>f(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> в точке <math>(a_1,a_2,\ldots, a_n)</math> определяется следующим образом:
- <math>\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}.</math>
| Оператор \ Функция | <math>f(x)</math> | <math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math> |
|---|---|---|
| Дифференциал | 1: <math>\operatorname{d}\!f = f'_x\operatorname{d}\!x</math> | 2: <math>\operatorname{d}_x\!f
= f'_x\operatorname{d}\!x</math> 3: <math>\operatorname{d}\!f = f'_x\operatorname{d}\!x + f'_y\operatorname{d}\!y + f'_u\operatorname{d}\!u + f'_v\operatorname{d}\!v</math> |
| Частная производная (первая производная) | <math>f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}</math> | <math>f'_x
\overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} = {\partial f\over \partial x}</math> |
| Полная производная (вторая производная) | <math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} f'_x</math> |
<math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=} f'_x + f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} + f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x}; (f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) </math> |
Обозначение
Следует обратить внимание, что обозначение <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной Шаблон:Nowrap которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: <math>\frac{\partial f}{\partial x} \equiv \frac{d_x f}{d x}</math>, где Шаблон:Nowrap частный дифференциал функции <math>f</math> по переменной <math>x</math>. Часто непонимание факта цельности символа <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение <math>\partial x</math> в выражении <math>\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}</math> [1].
Геометрическая интерпретация
Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции <math>f</math> в точке <math>\vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0)</math> по координате <math>x_k</math> равна производной <math>\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}</math> по направлению <math>\vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)</math>, где единица стоит на <math>k</math>-м месте.
Примеры
Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
- <math>V = \frac{\pi r^2 h}{3},</math>
Частная производная объёма V относительно радиуса r
- <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math>
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма <math>m^3</math>, а измерения длины <math>m</math>, то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма <math>m^3/m</math>, т.е. изменение величины радиуса на 1 <math>m</math> будет соответствовать изменению объёма конуса на <math>\frac{ 2 \pi r h}{3}</math> <math>m^3</math>.
Частная производная относительно h
- <math>\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3},</math>
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.
Полная производная V относительно r и h
- <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}</math>
и
- <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}</math>
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
- <math>k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.</math>
Это даёт полную производную относительно r:
- <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}</math>
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
Примечания
Шаблон:Rq Шаблон:Дифференциальное исчисление
- ↑ Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
