Русская Википедия:Четырнадцатая проблема Гильберта
Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.[1]
Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример[1][2] . Им была построена[3] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена[1] Стейнбергом в его работе[4] 1997 года.
Формулировки
Исходная формулировка Гильберта
Шаблон:Начало цитаты 14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.
<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>
Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций <math>X_1,...,X_m</math> от переменных <math>x_1,\dots,x_n</math>:
- <math>
\left. \begin{array}{c} X_1 = f_1(x_1,\dots,x_n)\\ X_2 = f_2(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\ X_m = f_m(x_1,\dots,x_n) \end{array} \right\} \qquad \qquad (S) </math> Всякая целая рациональная связь между <math>X_1,\dots,X_m</math>, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от <math>x_1,\dots,x_n</math>. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от <math>X_1,\dots,X_m</math>, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от <math>x_1,\dots, x_n</math>. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от <math>X_1,\dots,X_m</math>. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от <math>X_1,\dots,X_m</math>, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>[5]
Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры <math>K\bigcap k[x_1,\dots,x_n]</math>, где <math>K</math> — порождённое <math>X_1,\dots, X_n</math> поле. Поскольку всякое промежуточное поле <math>k\subset K\subset k(x_1,\dots,x_n)</math> является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом: Шаблон:Начало цитаты Пусть <math>K\subset k[x_1,\dots,x_n]</math> — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра <math>K\bigcap k[x_1,\dots,x_n]</math> конечно порождена?[1] Шаблон:Конец цитаты
Конечная порождённость алгебры инвариантов
Литература
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта»
- ↑ Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. - М., Мир, 1974. - c. 74-81
- ↑ M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
- ↑ R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.
- ↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Шаблон:Книга Шаблон:Cite web
