Русская Википедия:Четырёхполюсник
Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключенияШаблон:Sfn. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.
Общие сведения
При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.
Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.
Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.
Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U1, I1) и выходной (U2, I2) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой
- <math>
\begin{cases}
U_2=b_{11}U_1+b_{12}I_1 \\
I_2=b_{21}U_1+b_{22}I_1 \\
\end{cases};EducationBot (обсуждение) \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} </math>
В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.
Системы параметров
Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсникаШаблон:Sfn:
- A-форма U1=AU2+BI2; I1=CU2+DI2, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенныеШаблон:Sfn или комплексныеШаблон:Sfn параметры.
- Y-форма I1=Y11U1+Y12U2; I2=Y21U1+Y22U2, где Y11, Y12, Y21, Y22 — Y-параметры, или параметры проводимостейШаблон:Sfn.
- Z-форма U1=Z11I1+Z12I2; U2=Z21I1+Z22I2, где Z11, Z12, Z21, Z22 — Z-параметры, или параметры сопротивленийШаблон:Sfn.
- H-форма U1=h11I1+h12U2; I2=h21I1+h22U2, где h11, h12, h21, h22 — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторамиШаблон:Sfn.
- G-форма I1=G11U1+G12I2; U2=G21U1+G22I2, где G — это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
- B-форма U2=B11U1+B12I1; I2=B21U1+B22I1
Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.
В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.
Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.
Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров
| Тип | Система уравнений | Эквивалентная схема | Измерение параметров |
|---|---|---|---|
| <math>G</math> | <math>\begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} </math> |
_{I_2 = 0} \quad
g_{12} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_1 = 0}</math> <math>g_{21} = \left. \frac{U_2}{U_1} \right|_{I_2 = 0} \quad g_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{U_1 = 0}</math> | |
| <math>H</math> | <math>\begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} </math> |
_{U_2 = 0} \quad
h_{12} = \left. \frac{U_1}{U_2} \right|_{I_1 = 0}</math> <math>h_{21} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_2 = 0} \quad h_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{I_1 = 0}</math> | |
| <math>Y</math> | <math>\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} </math> |
_{U_2 = 0} \quad
y_{12} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{U_1 = 0}</math> <math>y_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{U_2 = 0} \quad y_{22} = \left. \frac{I_2}{U_2} \right|_{U_1 = 0}</math> | |
| <math>Z</math> | <math>\begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} </math> |
_{I_2 = 0} \quad
z_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{I_1 = 0}</math> <math>z_{21} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{I_2 = 0} \quad z_{22} = \left. \frac{U_2}{I_2} \right|_{I_1 = 0}</math> | |
| <math>A</math> | <math>\begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} </math> |
_{I_2 = 0} \quad
a_{12} = \left. \frac{U_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0}</math> <math>a_{21} = \left. \frac{I_1}{U_2} \right|_{I_2 = 0} \quad a_{22} = \left. \frac{I_1}{I_2} \right|_{U_2 = 0}</math> | |
| <math>B</math> | <math>\begin{pmatrix} U_2 \\ I_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ I_1 \end{pmatrix} </math> |
_{I_1 = 0} \quad
b_{12} = \left. \frac{U_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0}</math> <math>b_{21} = \left. \frac{I_2}{U_1} \right|_{I_1 = 0} \quad b_{22} = \left. \frac{I_2}{I_1} \right|_{U_1 = 0}</math> |
Преобразование параметров
Шаблон:HiderU_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2\\
I_2=h_{21}I_1+h_{22}U_2
\end{cases}. </math> Первое уравнение подставим во второе:
- <math>
\begin{cases}
I_1=\frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2 \\
I_2=h_{21} \left( \frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2 \right) +h_{22}U_2
\end{cases}. </math> Преобразуем второе уравнение:
- <math>
I_2= \frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 + \left( h_{22}-\frac{h_{12}h_{21}}{h_{11}} \right) U_2 =
\frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 +\frac{h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}{h_{11}} U_2 =
\frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 +\frac{\Delta_h}{h_{11}} U_2,
</math> где <math>\Delta_h = h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}. </math>
Получаем систему уравнений
- <math>
\begin{cases}
I_1=\frac{1}{h_{11}}U_1-\frac{h_{12}}{h_{11}}U_2 \\
I_2=\frac{h_{21}}{h_{11}}U_1 +\frac{\Delta_h}{h_{11}} U_2
\end{cases}. </math> Сравнивая её с целевой системой, получаем выражения для коэффициентов:
- <math>
y_{11}=\frac{1}{h_{11}}; EducationBot (обсуждение) y_{12}=-\frac{h_{12}}{h_{11}}; EducationBot (обсуждение)
y_{21}=\frac{h_{21}}{h_{11}}; EducationBot (обсуждение) y_{22}=\frac{\Delta_h}{h_{11}};
</math> Определитель новой системы находим простой подстановкой:
- <math>
\Delta_y = y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21} =
\frac{1}{h_{11}} \frac{\Delta_h}{h_{11}} + \frac{h_{12}}{h_{11}}\frac{h_{21}}{h_{11}} =
\frac{h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h^2_{11}} =
\frac{h_{22}}{h_{11}}.
</math> }}
| <math>H</math> | <math>Y</math> | <math>Z</math> | <math>G</math> | <math>A</math> | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>H</math> |
<math>h_{11}=1/y_{11}</math> |
<math>h_{11}=\Delta_z/z_{22}</math> |
<math>h_{11}=g_{22}/\Delta_g</math> |
<math>h_{11}=B/D</math> | ||
| <math>Y</math> |
<math>y_{11}=1/h_{11}</math> |
<math>y_{11}=z_{22}/\Delta_z</math> |
<math>y_{11}=\Delta_g/g_{22}</math> |
<math>y_{11}=D/B</math> | ||
| <math>Z</math> |
<math>z_{11}=\Delta_h/h_{22}</math> |
<math>z_{11}=y_{22}/\Delta_y</math> |
<math>z_{11}=1/g_{11}</math> |
<math>z_{11}=A/C</math> | ||
| <math>G</math> |
<math>g_{11}=h_{22}/\Delta_h</math> |
<math>g_{11}=\Delta_y/y_{22}</math> |
<math>g_{11}=1/z_{11}</math> |
<math>g_{11}=C/A</math> |
||
| <math>A</math> |
<math>A=-\Delta_h/h_{21}</math> |
<math>A=-y_{22}/y_{21}</math> |
<math>A=z_{11}/z_{21}</math> |
<math>A=1/g_{21}</math> |
Преобразования схем
Rin, Rout — входное и выходное сопротивления; KI, KU — коэффициенты усиления по току и напряжению.
<math>R_{in}=\frac{U_1}{I_1}; \qquad R_{out}=\frac{U_2}{I_2}; \qquad K_{I}=\frac{I_2}{I_1}; \qquad K_{U}=\frac{U_2}{U_1}. </math>
| Схема | <math>H</math> | <math>Y</math> | <math>Z</math> | <math>G</math> |
|---|---|---|---|---|
| Файл:Quadripole 01.gif |
<math>R_{in}=\frac{h_{11}+\Delta_h R}{1+h_{22} R}</math> <math>R_{out}=\frac{h_{11}+r}{\Delta_h+h_{22} r}</math> <math>K_{I}=\frac{h_{21}}{1+h_{22} R}</math> <math>K_{U}=\frac{-h_{21} R}{h_{11}+\Delta_h R}</math> |
<math>R_{in}=\frac{ 1+y_{22} R }{ y_{11}+\Delta_y R }</math> <math>R_{out}=\frac{ 1+y_{11} r }{ y_{22}+\Delta_y r }</math> <math>K_{I}=\frac{ y_{21} }{ y_{11}+ \Delta_y R }</math> <math>K_{U}=\frac{ -y_{21} R }{ 1+y_{22} R }</math> |
<math>R_{in}=\frac{ \Delta_z + z_{11} R }{ z_{22}+R }</math> <math>R_{out}=\frac{ \Delta_z + z_{22} r }{ z_{22}+r }</math> <math>K_{I}=\frac{ -z_{21} }{ z_{22}+R }</math> <math>K_{U}=\frac{ z_{21} R }{ -\Delta_z+z_{11} R }</math> |
<math>R_{in}=\frac{ g_{22}+R }{ \Delta_g+g_{11} R }</math> <math>R_{out}=\frac{ g_{22}+\Delta_g r }{ 1+g_{11} r }</math> <math>K_{I}=\frac{ -g_{21} }{ \Delta_g+g_{11} R }</math> <math>K_{U}=\frac{ g_{21} R }{ g_{22}+R }</math> |
Разновидности четырёхполюсников
Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.
Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.
Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.
Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1
Частные случаи четырёхполюсников
Идеальный трансформатор
Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):
- <math>
\begin{cases}
U_1=h_{12}U_2 \\
I_2=h_{21}I_1 \\
\end{cases}; \begin{pmatrix} U_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & h_{12} \\ h_{21} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ U_2 \end{pmatrix} </math>
Гиратор
Шаблон:Main Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивленияШаблон:Sfn). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:
- <math>
\begin{cases}
I_1=y_{12}U_2 \\
I_2=-y_{21}U_1 \\
\end{cases}; \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & y_{12} \\ -y_{21} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix} </math> Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:
- <math>
Z_{out}=\frac{1} {-Z_{in}y_{21}^2} </math>
Нуллор
Шаблон:Main Нуллор — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значенияШаблон:Sfn. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.
См. также
Примечания
Литература
