Русская Википедия:Четырёхугольник Саккери
Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».
Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом[1].
В четырёхугольнике Саккери <math>ABCD</math> стороны <math>AD</math> и <math>BC</math> равны по длине и перпендикулярны к основанию <math>AB</math>. Углы при <math>C</math> и <math>D</math> называются верхними углами, два остальных угла — нижними.
Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос:
- Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?
Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулатыШаблон:Sfn).
Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно)Шаблон:Sfn.
История
Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века[1]. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель):
- Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходились[2].
Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.
600 лет спустя Шаблон:Нп5 использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания <math>AB</math> и верхней стороны <math>CD</math>, то <math>AB</math> и <math>CD</math> всюду лежат на одинаковом расстоянии.
Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.
Свойства
Пусть <math>ABCD</math> — четырёхугольник Саккери с основанием <math>AB</math>. Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрииШаблон:Sfn:
- Верхние углы (<math>C</math> и <math>D</math>) равны и являются острыми.
- Верхняя сторона длиннее основания.
- Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне.
- Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.
Формула
В гиперболической плоскости постоянной кривизны <math>-1</math> верхняя сторона <math>s</math> в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону <math>l</math> и основание <math>b</math> с помощью формулы
- <math>\cosh s = \cosh b \cdot \cosh^2 l - \sinh^2 l.</math>[3]
Примеры
Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:
| Файл:Hyperbolic domains 2233.png Симметрия *3322 |
Файл:Hyperbolic domains ii22.png Симметрия *∞∞22 |
См. также
- Четырёхугольник Ламберта — вариация четырёхугольника Саккери с тремя прямыми углами.
Примечания
Литература
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
- George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
- ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p. 467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.
- ↑ P. Buser and H. Karcher.
