Русская Википедия:Числа Деланнуа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Числа Деланнуа (или числа Деланоя; Шаблон:Lang-fr) D(a, b) в комбинаторике описывают количества путей из левого нижнего угла прямоугольной решётки (a, b) в противоположный по диагонали угол, используя только ходы вверх, вправо или вверх-вправо («ходом короля»). В a-мерном клеточном автомате D(a,b) задают количество клеток в окрестности фон Неймана радиуса b, Шаблон:OEIS; количество клеток на поверхности окрестности задет Шаблон:OEIS. Названы в честь французского математика Шаблон:Нп3.

Некоторые значения

Для квадратной сетки n × n первые числа Деланнуа (начиная с n=0) Шаблон:OEIS:

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, …

Например, D(3,3)=63, так как существует 63 различных пути Деланнуа в квадрате 3 × 3:

Файл:Delannoy3x3.svg

Пути, которые не поднимаются выше диагонали, описывают числа Шрёдера.

Дополнительные значения приведены в таблице:

k\n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
2	1	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221

Свойства

Числа Деланнуа удовлетворяют рекуррентному соотношению: <math>\ D(m,n)=D(m-1,n) + D(m-1,n-1) + D(m,n-1)</math>, в качестве начальных условий можно принять D(0,k)=D(k,0)=1.

Это уравнение аналогично треугольнику Паскаля для биномиальных коэффициентов C(m,n):

<math>\ C(m,n) = C(m-1,n)+C(n-1,m)</math>

которое относится к количеству путей между теми же вершинами, но при условии, что допустимы только ходы по сторонам клеток.

Если учесть места, в которых пути пересекают диагональ, то можно вывести связь между числами Деланнуа и биномиальными коэффициентами:

<math>\ D(m,n)=\sum_{k=0}^m C(m,k)C(n+m-k,m)=\sum_{k=0}^m 2^k C(m,k)C(n,k)</math>

Кроме того

<math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{n} A(m,k), </math>

где <math> A(m,k) </math> задано Шаблон:OEIS.

Производящая функция для чисел:

<math>\sum_{p,q=0}^\infty D(p,q)x^p y^q = \frac{1}{1-x-y-x y}</math>

Когда рассматриваются пути в квадрате, числа Деланнуа равны:

<math>D(n)=D(n,n)=P_n(3)</math>, где <math>P_n(x)</math> — полином Лежандра.

Другие свойства для них:

<math>D(n)=\frac{3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2)}{n}</math>

<math>\sum_{n=0}^\infty D(n)x^n = \frac{1}\sqrt{1-6x+x^2}=1+3x+13x^2+63x^3+321x^4+\ldots</math>

См. также

• Числа Моцкина
• Числа Нараяны
• Числа Шрёдера

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга
• Упоминание чисел Деланнуа в русскоязычной статье.